第六章 化圓為方（幾何）

　　化圓為方問題的完整敘述是：給定一個(gè)圓，是否能夠通過以上說明的五種基本步驟，于有限次內(nèi)作出一個(gè)正方形，使得它的面積等于圓的面積。

　　如果將圓的半徑定為單位長度，則化圓為方問題的實(shí)質(zhì)是作出長度π的開方為單位長度倍的線段。

　　公元前5世紀(jì)，古希臘哲學(xué)家阿那克薩哥拉因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)太陽是個(gè)大火球，而不是阿波羅神，犯有“褻瀆神靈罪”而被投入監(jiān)獄。在法庭上，阿那克薩哥拉申訴道：“哪有什么太陽神阿波羅?。∧莻€(gè)光耀奪目的大球，只不過是一塊火熱的石頭，大概有伯羅奔尼撒半島那么大；再說，那個(gè)夜晚發(fā)出清光，晶瑩透亮象一面大鏡子的月亮，它本身并不發(fā)光，全是靠了太陽的照射，它才有了光亮。”結(jié)果他被判處死刑。

　　在等待執(zhí)行的日子了，夜晚，阿那克薩哥拉睡不著。圓圓的月亮透過正方形的鐵窗照進(jìn)牢房，他對方鐵窗和圓月亮產(chǎn)生了興趣。他不斷變換觀察的位置，一會兒看見圓比正方形大，一會兒看見正方形比圓大。最后他說：“好了，就算兩個(gè)圖形面積一樣大好了?！?p>　　阿那克薩哥拉把“求作一個(gè)正方形，使它的面積等于已知的圓面積”作為一個(gè)尺規(guī)作圖問題來研究。起初他認(rèn)為這個(gè)問題很容易解決，誰料想他把所有的時(shí)間都用上，也一無所獲。

　　經(jīng)過好朋友、政治家伯里克利的多方營救，阿那克薩哥拉獲釋出獄。

　　他把自己在監(jiān)獄中想到的問題公布出來，許多數(shù)學(xué)家對這個(gè)問題很感興趣，都想解決，可是一個(gè)也沒有成功。這就是著名的“化圓為方”問題。

　　化圓為方是古希臘尺規(guī)作圖問題之一，即：求一正方形，其面積等于一給定圓的面積。由π為超越數(shù)可知，該問題僅用直尺和圓規(guī)是無法完成的。但若放寬限制，這一問題可以通過特殊的曲線來完成。如西皮阿斯的割圓曲線，阿基米德的螺線等。

　　二千年間，盡管對化圓為方問題上的研究沒有成功，但卻發(fā)現(xiàn)了一些特殊曲線。希臘安提豐（公元前430）為解決此問題而提出的「窮竭法」，是近代極限論的雛形。大意是指先作圓內(nèi)接正方形（或正6邊形），然后每次將邊數(shù)加倍，得內(nèi)接8、16、32、…邊形，他相信「最后」的正多邊形必與圓周重合，這樣就可以化圓為方了。雖然結(jié)論是錯(cuò)誤的，但卻提供了求圓面積的近似方法，成為阿基米德計(jì)算圓周率方法的先導(dǎo)，與中國劉徽的割圓術(shù)不謀而合，對窮竭法等科學(xué)方法的建立產(chǎn)生直接影響。

　　現(xiàn)已證明，在尺規(guī)作圖的條件下，此題無解。