第八十五章 費(fèi)馬平方和定理

　　費(fèi)馬研究關(guān)于數(shù)論的知識(shí)，善于在一堆數(shù)字中找到一些關(guān)聯(lián)。

　　1640年的時(shí)候，費(fèi)馬開始猜測(cè)，奇質(zhì)數(shù)能表示為兩個(gè)平方數(shù)之和的充分必要條件是該質(zhì)數(shù)被4除余1。

　　但是他無法證明這些。

　　歐拉得知后，開始著手證明這個(gè)平方和定理。

　　歐拉給哥德巴赫寫信說：“這個(gè)證明分五步?！?p>　　“如果兩個(gè)整數(shù)都能表示為兩個(gè)平方數(shù)之和，則它們的積也能表示為兩個(gè)平方數(shù)之和。第一步的證明是婆羅摩笈多－斐波那契恒等式的一種?！?p>　　“第二步如果一個(gè)能表示為兩個(gè)平方數(shù)之和的整數(shù)被另一個(gè)能表示為兩個(gè)平方數(shù)之和的素?cái)?shù)整除，則它們的商也能表示為兩個(gè)平方數(shù)之和。”

　　“第三步，如果一個(gè)能表示為兩個(gè)平方數(shù)之和的整數(shù)被另一個(gè)不能表示為兩個(gè)平方數(shù)之和的整數(shù)整除，則它們的商也必有一個(gè)不能表示為兩個(gè)平方數(shù)之和的因子。”

　　“第四步，如果a和b互素，則a^2 + b^2的所有因子都能表示為兩個(gè)平方數(shù)之和?！?p>　　“第五步，任何形為4n+1的素?cái)?shù)都能表示為兩個(gè)平方數(shù)之和。”

　　使用這五步，歐拉成功證明了費(fèi)馬的平方和猜想，變成了平方和定理。