第一百五十章 克萊姆悖論-與線性代數(shù)的產(chǎn)生（線性代數(shù)）

　　雖說數(shù)學(xué)悖論大多是一些讓人越想越糊涂的邏輯思維游戲，但也有不少悖論來自于實(shí)實(shí)在在的數(shù)學(xué)問題。在缺乏現(xiàn)代數(shù)學(xué)工具的年代，這些反直覺的結(jié)論和看似不可調(diào)和的矛盾讓數(shù)學(xué)家們百思不得其解，那些最難解決的悖論甚至為數(shù)學(xué)新分支的開創(chuàng)帶來了足夠的動(dòng)機(jī)。不太為人熟知的 Cramer 悖論就是一個(gè)漂亮的例子。

　　在描述 Cramer 悖論之前，讓我們先來考慮一個(gè)簡單的情況。

　　兩條直線交于一點(diǎn)。

　　反過來，過一點(diǎn)可以做兩條不同的直線。

　　事實(shí)上，過一點(diǎn)可以做無數(shù)條直線。

　　確定一條直線需要兩個(gè)點(diǎn)才夠。

　　一切都很正常。

　　現(xiàn)在，考慮平面上的兩條三次曲線。

　　由于將兩個(gè)二元三次方程聯(lián)立求解，最多可以得到 9 組不同的解，因此兩條三次曲線最多有 9 個(gè)交點(diǎn)。另外，三次曲線的一般形式為

　　x^3 + a·x^2·y + b·x·y^2 + c·y^3 + d·x^2 + e·x·y + f·y^2 + g·x + h·y + i = 0

　　這里面一共有 9 個(gè)未知系數(shù)。

　　代入曲線上的 9 組不同的(x， y)，我們就能得出 9 個(gè)方程，解出這 9 個(gè)未知系數(shù)，恢復(fù)出這個(gè)三次曲線的原貌。

　　也就是說，平面上的 9 個(gè)點(diǎn)唯一地確定了一個(gè)三次曲線。

　　這次貌似就出問題了：“兩條三次曲線交于 9 個(gè)點(diǎn)”和 “ 9 個(gè)點(diǎn)唯一地確定一條三次曲線”怎么可能同時(shí)成立呢？

　　既然這 9 個(gè)點(diǎn)是兩條三次曲線所共有的，那它們究竟會(huì)“唯一地”確定出哪條曲線呢？

　　在沒有線性代數(shù)的年代，這是一個(gè)令人匪夷所思的問題。

　　Cramer 和 Euler 是同一時(shí)代的兩位大數(shù)學(xué)家。

　　他們曾就代數(shù)曲線問題有過不少信件交流。

　　上面這個(gè)問題就是 1744 年 9 月 30 日 Cramer 在給 Euler 的信中提出來的。

　　在信中， Cramer 擺出了兩個(gè)稍作思考便能看出顯然成立的事實(shí)：一條三次曲線能用 9 個(gè)點(diǎn)唯一地確定下來，兩條三次曲線可能產(chǎn)生出 9 個(gè)交點(diǎn)。

　　Cramer 向 Euler 提出了自己的疑問：這兩個(gè)結(jié)論怎么可能同時(shí)成立呢？

　　Euler 心中的疑問不比 Cramer 的少。

　　接下來的幾年里，他都在尋找這個(gè)矛盾產(chǎn)生的源頭。

　　1748 年， Euler 發(fā)表了一篇題為 Sur une contradiction apparente dans la doctrine des lignes courbes （關(guān)于曲線規(guī)律中的一個(gè)明顯的矛盾）的文章，嘗試著解決這一難題。

　　正如大家所想，矛盾的源頭就是， 9 個(gè)點(diǎn)不見得能唯一地確定出三次曲線的方程，因?yàn)椴皇敲總€(gè)點(diǎn)的位置都能給我們帶來足夠的信息。

　　Euler 試圖向人們解釋這樣一件事情：曲線上的 9 個(gè)點(diǎn)雖然給出了 9 個(gè)不同的方程，但有時(shí)它們并不能唯一地解出那 9 個(gè)未知數(shù)，因?yàn)橛行┓匠淌菑U的。

　　在沒有線性代數(shù)的年代，解釋這件事情并不容易。

　　Euler 舉了一個(gè)最簡單的例子：方程組

　　3x ? 2y = 5

　　4y = 6x ? 10

　　表面上存在唯一解，但事實(shí)上兩個(gè)方程的本質(zhì)相同——第一個(gè)方程乘以 2 再移項(xiàng)后就直接變成第二個(gè)方程了。

　　換句話說，后一個(gè)方程并沒有給我們帶來新的信息，有它沒它都一樣。

　　當(dāng)然，這只是一個(gè)最為簡單的例子。

　　在當(dāng)時(shí)，真正讓人大開眼界的則是 Euler 文中給出的三元一次方程組：

　　2x ? 3y + 5z = 8

　　3x ? 5y + 7z = 9

　　x ? y + 3z = 7

　　這個(gè)方程組也沒有唯一解，原因就很隱蔽了：后兩個(gè)方程之和其實(shí)是第一個(gè)方程的兩倍，換句話說第一個(gè)方程本來就能由另外兩個(gè)方程推出來。

　　因此，整個(gè)方程組本質(zhì)上只有兩個(gè)不同的方程，它們不足以確定出三個(gè)未知數(shù)來。

　　Euler 還給出了一個(gè)四元一次方程組的例子，向人們展示了更加復(fù)雜的情況。

　　類似地， 9 個(gè)九元一次方程當(dāng)然也會(huì)因?yàn)槌霈F(xiàn)重復(fù)信息而不存在唯一解，不過具體情況幾乎無法預(yù)料：很可能方程(1)就是方程(2)和方程(5)的差的多少多少倍，也有可能方程(7)和(9)的差恰是前三個(gè)方程的和。

　　究竟什么叫做一個(gè)方程“提供了新的信息”，用什么來衡量一個(gè)方程組里的信息量，怎樣的方程組才會(huì)有唯一解？

　　Euler 承認(rèn)，“要想給出一個(gè)一般情況下的公式是很困難的”。

　　此時(shí)大家或許能體會(huì)到， Euler 提出的這些遺留問題太具啟發(fā)性了，當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)研究者們看到之后必然是渾身血液沸騰。

　　包括 Cramer 在內(nèi)的數(shù)學(xué)家們沿著 Euler 的思路繼續(xù)想下去，一個(gè)強(qiáng)大的數(shù)學(xué)新工具——線性代數(shù)——逐漸開始成型。

　　沒錯(cuò)，這個(gè) Cramer 正是后來提出線性代數(shù)一大基本定理—— Cramer 法則——的那個(gè)人。