作為牛頓看好的學生，麥克勞林經(jīng)常思考一個問題。
世間很多物理運動，是不是都可以由已知函數(shù)表達，如果是已知的，那會是什么樣的函數(shù)。
天下所有函數(shù)是不是都可以展開成多項式形式，這個多項式前有對應合理系數(shù)？
也許是可以的，即使不是準確了，但大概也可以展開成這樣。
麥克勞林一開始去研究多項式函數(shù)的形狀，自己也繪制了很多個函數(shù)。
麥克勞林開始發(fā)現(xiàn)，只要多項式前的系數(shù)可以直接決定。
理論上就是改變多項式系數(shù)，就可以合成，或者近似合成幾乎任何一個函數(shù)。這不是一個理論，而是實際需要的東西。
但比較麻煩的是，每次的合成比較麻煩，需要反復驗證，才能吻合。
后來泰勒發(fā)現(xiàn)泰勒級數(shù)之后，麥克勞林看到了這種簡單的方法。
麥克勞林級數(shù)是函數(shù)在x=0處的泰勒級數(shù)，它是牛頓的學生麥克勞林于1742年給出的，用來證明局部極值的充分條件，他自己說明這是泰勒級數(shù)的特例，但后人卻加了麥克勞林級數(shù)這個名稱。
麥克勞林最后還是落下一個毛病，他還是沒有用泰勒級數(shù)，他還是習慣于自己對多項式改變系數(shù)，來研究很多函數(shù)的性質(zhì)，同時可以研究清很多運動軌跡。
牛頓對麥克老林說：“不可避免，我們要研究級數(shù)了，這是未來的趨勢?！?p> 麥克勞林說：“必須的，我們要發(fā)展這么學問，畢竟它的用途頗多?！?p> “但是，我有一個疑問，我心里總是對這種東西有一種特別的感悟。”牛頓開始使用‘感覺’這一類的非理性詞匯，想從這些的意味上去探討這個東西。
“你這個疑問，是在研究二項式的時候，就出現(xiàn)了嗎？”麥克勞林對牛頓研究二項式的精神震撼，如今有了級數(shù)這樣的知識，或許這些之間有一些難以言說的微妙關(guān)系。
牛頓嚴肅的說：“你能解釋為什么上帝，要我們把任何一個公式要變成一個寫不完的級數(shù)嗎？上帝是想告訴我們，每個東西都會有無窮小的細節(jié)？”
麥克勞林喜歡牛頓這種鉆牛角的方式，因為數(shù)學家都愛轉(zhuǎn)奇怪的牛角，外人看來是神經(jīng)兮兮的行為，普通的數(shù)學工作者也僅僅會輕蔑一笑。而高級的數(shù)學家之間，用這樣的方式說話，對他們而言，是一種哲學感上的一種極度舒適。
“我知道你想說的是，一個本來簡單的公式，這么會有無窮的寫不完的細節(jié)？而這種細節(jié)是上帝考驗我們的，甚至是一種嘲笑。是嘲笑我們連一個簡單公式，我們都不能準確的把他們寫完?！?p> 牛頓笑了：“是的，我們沒有刻意去找細節(jié)，但是一個最簡單的東西卻有一種無窮無盡的細節(jié)。就是一個簡單物本來就有無窮細節(jié)的意思?！?p> 麥克勞林說：“我們可以利用這個細節(jié)，尋找相互等價的公式，卻不能用他們準確測量什么東西?！?p> 牛頓說：“沒錯，討論到此為止了?！?p> 牛頓知道，說個三天三夜的也不起作用，知道此事到此為止。