第一百三十一章 泰勒公式（微積分）

　　18世紀(jì)早期英國(guó)牛頓學(xué)派最優(yōu)秀代表人物之一的英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒（Brook Taylor），于1685年8月18日在英格蘭德?tīng)柸怂箍さ陌５旅深D市出生。

　　1701年，泰勒進(jìn)劍橋大學(xué)的圣約翰學(xué)院學(xué)習(xí)。

　　1709年后移居倫敦，獲得法學(xué)學(xué)士學(xué)位。

　　1712年當(dāng)選為英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員，同年進(jìn)入促裁牛頓和萊布尼茲發(fā)明微積分優(yōu)先權(quán)爭(zhēng)論的委員會(huì)。并于兩年后獲法學(xué)博士學(xué)位。

　　從1714年起擔(dān)任皇家學(xué)會(huì)第一秘書(shū)，1718年以健康為由辭去這一職務(wù)。

　　1717年，他以泰勒定理求解了數(shù)值方程。

　　泰勒以微積分學(xué)中將函數(shù)展開(kāi)成無(wú)窮級(jí)數(shù)的定理著稱于世。

　　泰勒在無(wú)聊的玩GeoGebra，里面有個(gè)公式:

　　Y=A0+A1x+A2x^2+A3x^3+A4x^4+A5x^5+A6x^6+A7x^7+A8x^8+A9x^9

　　然后無(wú)聊的撥弄著滑動(dòng)條來(lái)隨意改變這些個(gè)A值。屏幕上函數(shù)圖像不斷變化著，但那線條總是歪七八扭，不聽(tīng)使喚。他認(rèn)真了起來(lái)，擴(kuò)大了A值的范圍和精度，逐漸找到規(guī)律之后，他已經(jīng)能夠調(diào)出劍尖，牙齒，貓耳等圖像。

　　他不斷增加項(xiàng)數(shù)，調(diào)整參數(shù)，他發(fā)現(xiàn)增加的項(xiàng)數(shù)越多，他就越能掌控圖像的變化。

　　他像扭鐵絲似的上下彎折著曲線，無(wú)意中調(diào)出了一段波浪形的圖像，看著似乎挺眼熟……

　　——這不是 sin 函數(shù)嗎！

　　他抑制不住自己的興奮，趕緊輸入了標(biāo)準(zhǔn)的 sin 函數(shù)進(jìn)行對(duì)比，同時(shí)繼續(xù)調(diào)整多項(xiàng)式，使這個(gè)山寨函數(shù)盡可能地貼近正品。

　　他仔細(xì)端詳著，單看眼前這一段，簡(jiǎn)直可以以假亂真，不過(guò)越到后面，分歧也就越明顯了。

　　他猛然意識(shí)到：“我能夠控制多項(xiàng)式畫(huà)出任意圖像！甚至把它偽裝成其他函數(shù)！“

　　但是他很快冷靜了下來(lái)，問(wèn)了自己一連串的問(wèn)題：所謂的任意，可以是無(wú)限制的任意嗎？我能否完美地“偽裝“出一個(gè)目標(biāo)函數(shù)？如果不能，那又能夠偽裝到何種程度？擺在眼前的具體問(wèn)題就是，能否“偽裝“出一個(gè)完美的 sin 函數(shù)？

　　他決定一探究竟。如果存在某 n 次多項(xiàng)式等于 sin(x);則其導(dǎo)函數(shù)也等于 sin(x)的導(dǎo)函數(shù)；它的二階導(dǎo)也等于 sin(x)的二階導(dǎo)；它的三階導(dǎo)也等于 sin(x)的三階導(dǎo)；

　　……它的 n 階導(dǎo)也等于 sin(x)的 n 階導(dǎo)。

　　可是，每求導(dǎo)一次，多項(xiàng)式就會(huì)降一階。

　　求到 n 階導(dǎo)不就變成常數(shù)了嗎？

　　再導(dǎo)不就歸零了嗎！

　　而 sin(x)可以無(wú)窮階求導(dǎo)，所以無(wú)論 n 有多大，都不可能完美偽裝出 sin 函數(shù)。

　　除非…… n 為無(wú)窮大？

　　這就引出了下面的問(wèn)題：這樣的偽裝可以到達(dá)何種程度？

　　首先，經(jīng)過(guò)調(diào)整，可以使二者的起點(diǎn)一致；然后，可以調(diào)整使二者在該點(diǎn)處斜率一致；再然后，可以調(diào)整該點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)一致；再然后，可以調(diào)整該點(diǎn)處的三階導(dǎo)數(shù)一致；

　　……總之，我們總可以使該點(diǎn)處 n 階導(dǎo)數(shù)一致。

　　而 n 可以無(wú)限遞增下去，我們的“偽裝“就可以無(wú)限逼近目標(biāo)函數(shù)。

　　——埃勒里·泰勒·奎因看著圖像的變化，他不禁把那個(gè)起點(diǎn)當(dāng)成了運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，斜率即質(zhì)點(diǎn)的速度

　　……他忍不住做起了一個(gè)思想實(shí)驗(yàn)：沒(méi)有其他外力，沒(méi)有初速度的條件下，質(zhì)點(diǎn)只能靜止在原地，毫無(wú)自由可言。

　　給質(zhì)點(diǎn)一個(gè)初速度，我們可以使質(zhì)點(diǎn)單向勻速運(yùn)動(dòng)；若再給定一個(gè)加速度，我們可以使速度均勻變化，從而產(chǎn)生拐彎運(yùn)動(dòng)；若再給定加速度的變化率，我們使加速度均勻變化，速度拐彎變化，產(chǎn)生可轉(zhuǎn)向拐彎運(yùn)動(dòng)；

　　……如果一開(kāi)始就設(shè)定好質(zhì)點(diǎn)的初速度，加速度，加加速度，加加加…加速度的話，正如用一只無(wú)形的手調(diào)控著它的命運(yùn)，那么無(wú)論想讓它何時(shí)拐，往何處拐，如何拐……就全都在初始條件的設(shè)計(jì)之中了！這一刻，他仿佛觸摸到了力量，觸摸到了真理，觸摸到了前所未有的自由！他大吼一聲：“泰勒展開(kāi)！”

　　這條定理大致可以敘述為：函數(shù)在一個(gè)點(diǎn)的鄰域內(nèi)的值可以用函數(shù)在該點(diǎn)的值及各階導(dǎo)數(shù)值組成的無(wú)窮級(jí)數(shù)表示出來(lái)。然而，在半個(gè)世紀(jì)里，數(shù)學(xué)家們并沒(méi)有認(rèn)識(shí)到泰勒定理的重大價(jià)值。這一重大價(jià)值是后來(lái)由拉格朗日發(fā)現(xiàn)的，他把這一定理刻畫(huà)為微積分的基本定理。

　　把求導(dǎo)數(shù)的方程，調(diào)轉(zhuǎn)一下，就可以得到牛頓迭代。這樣的一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)……，都可以無(wú)限帶入進(jìn)去。

　　牛頓迭代可以讓不能直接得到解的方程，無(wú)限接近于解的值，以達(dá)到近似的效果。后來(lái)泰勒將其改造成泰勒級(jí)數(shù)來(lái)確定很多函數(shù)。

　　對(duì)于任意一段連續(xù)可求導(dǎo)的函數(shù)，都可以與x軸方向得到一個(gè)面積的值。在古代，沒(méi)有人能對(duì)很多弧形的圖像直接求面積的值的。但是積分就可以，因?yàn)榕ｎD將函數(shù)分成無(wú)數(shù)個(gè)斜率，與底邊形成了無(wú)數(shù)個(gè)體型而已，對(duì)于無(wú)數(shù)的體型無(wú)窮相加，取無(wú)限的值，就可以準(zhǔn)確計(jì)算出這段陰影包含的面積。

　　泰勒定理的嚴(yán)格證明是在定理誕生一個(gè)世紀(jì)之后，由柯西給出的。

　　泰勒定理開(kāi)創(chuàng)了有限差分理論，使任何單變量函數(shù)都可展成冪級(jí)數(shù)；同時(shí)亦使泰勒成了有限差分理論的奠基者。

　　泰勒于書(shū)中還討論了微積分對(duì)一系列物理問(wèn)題之應(yīng)用，其中以有關(guān)弦的橫向振動(dòng)之結(jié)果尤為重要。

　　他透過(guò)求解方程導(dǎo)出了基本頻率公式，開(kāi)創(chuàng)了研究弦振問(wèn)題之先河。

　　此外，此書(shū)還包括了他于數(shù)學(xué)上之其他創(chuàng)造性工作，如論述常微分方程的奇異解，曲率問(wèn)題之研究等。