第四十九章 楊輝三角

　　楊輝三角形，一目了然，每個(gè)數(shù)等于它上方兩數(shù)之和。

　　研究過《九章》、《緝古》、《綴術(shù)》、《海島》這些算法的楚衍說：“我發(fā)現(xiàn)了一個(gè)奇特三角，每行數(shù)字左右對(duì)稱，由1開始逐漸變大?！?p>　　1050年寫過《釋鎖算術(shù)》的賈憲說：“這個(gè)三角第n行的數(shù)字有n項(xiàng)?！?p>　　1261年，寫過《詳解九章算法》的楊輝說：“這個(gè)三角形前n行共[(1+n)n]/2 個(gè)數(shù)?！?p>　　1303年朱世杰說：“第n行的m個(gè)數(shù)可表示為 C(n-1，m-1)，即為從n-1個(gè)不同元素中取m-1個(gè)元素的組合數(shù)?！?p>　　1427年，寫過《算術(shù)的鑰匙》的阿拉伯人阿爾·卡西說：“第n行的第m個(gè)數(shù)和第n-m+1個(gè)數(shù)相等，為組合數(shù)性質(zhì)之一?！?p>　　1527年德國(guó)人阿皮亞納斯說：“每個(gè)數(shù)字等于上一行的左右兩個(gè)數(shù)字之和?？捎么诵再|(zhì)寫出整個(gè)楊輝三角。即第n+1行的第i個(gè)數(shù)等于第n行的第i-1個(gè)數(shù)和第i個(gè)數(shù)之和，這也是組合數(shù)的性質(zhì)之一。即 C(n+1，i)=C(n，i)+C(n，i-1)?！?p>　　1544年，寫過《綜合算術(shù)》的德國(guó)人米歇爾.斯蒂費(fèi)爾說：“這是二項(xiàng)式展開式系數(shù)，其中(a+b)n的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)依次對(duì)應(yīng)三角的第(n+1)行中的每一項(xiàng)。”

　　斐波那契說：“將第2n+1行第1個(gè)數(shù)，跟第2n+2行第3個(gè)數(shù)、第2n+3行第5個(gè)數(shù)……連成一線，這些數(shù)的和是第4n+1個(gè)斐波那契數(shù)；將第2n行第2個(gè)數(shù)(n>1)，跟第2n-1行第4個(gè)數(shù)、第2n-2行第6個(gè)數(shù)……這些數(shù)之和是第4n-2個(gè)斐波那契數(shù)?！?p>　　1545年法國(guó)的薛貝爾說：“將第n行的數(shù)字分別乘以10^（m-1），其中m為該數(shù)所在的列，再將各項(xiàng)相加的和為11^（n-1）。11^0=1，11^1=1x10^0+1×10^1=11，11^2=1×10^0+2x10^1+1x10^2=121，11^3=1x10^0+3×10^1+3x10^2+1x10^3=1331，11^4=1x10^0+4x10^1+6x10^2+4x10^3+1x10^4=14641，11^5=1x10^0+5x10^1+10x10^2+10x10^3+5x10^4+1×10^5=161051?！?p>　　1654年，寫過《論算術(shù)三角形》的帕斯卡說：“第n行數(shù)字的和為2^（n-1）。1=2^（1-1），1+1=2^（2-1），1+2+1=2^（3-1），1+3+3+1=2^（4-1），1+4+6+4+1=2^（5-1），1+5+10+10+5+1=2^（6-1）?！?p>　　這個(gè)被歐洲人稱之為帕斯卡三角形。

　　1708年的Pierre Raymond de Montmort說：“斜線上數(shù)字的和等于其向左（從左上方到右下方的斜線）或向右拐彎（從右上方到左下方的斜線），拐角上的數(shù)字。1+1=2，1+1+1=3，1+1+1+1=4，1+2=3，1+2+3=6，1+2+3+4=10，1+3=4，1+3+6=10，1+4=5?！?p>　　1730年的亞伯拉罕·棣·美弗說：“將各行數(shù)字左對(duì)齊，其右上到左下對(duì)角線數(shù)字的和等于斐波那契數(shù)列的數(shù)字。1，1，1+1=2，2+1=3，1+3+1=5，3+4+1=8，1+6+5+1=13，4+10+6+1=21，1+10+15+7+1=34，5+20+21+8+1=55?！?p>　　后來人們也稱呼這是中國(guó)三角形。

　　二維的楊輝三角有多項(xiàng)式系數(shù)，晶體晶格，單形的點(diǎn)線面或者是四維體，五維體等等這樣的有價(jià)值的東西。其中是虧格為0的歐拉定理。對(duì)圖論有重大幫助。對(duì)很多等差，甚至一級(jí)數(shù)列、二級(jí)數(shù)列等等有重要研究。

　　那三維的楊輝三角，肯定會(huì)有更加重要的信息。

　　高維的楊輝三角，肯定更加有價(jià)值。

　　或許輕松包括斐波那契數(shù)列，包括多虧格多面體的點(diǎn)線面等復(fù)雜信息。

　　或許楊輝三角是任何一個(gè)數(shù)學(xué)的終點(diǎn)。

　　近下來，就需要解決高維楊輝三角的數(shù)列問題了。有沒有一種簡(jiǎn)單的辦法來。

　　其中一個(gè)最重要的問題，就是二維的楊輝三角是否可以解決高維的楊輝三角問題？這也意味著，高維的楊輝三角簡(jiǎn)化成二維的楊輝三角問題。

　　這樣的楊輝三角問題，是不是跟形數(shù)有關(guān)呢？有關(guān)系的話，是不是就變成了形數(shù)的問題？