第二百五十七章 高斯分布（概率和統(tǒng)計(jì)）

　　黎曼對(duì)高斯說：“目前德國(guó)復(fù)雜的情況下，如何組建一個(gè)學(xué)派來振興數(shù)學(xué)?！崩杪脧?fù)雜這樣的字眼，只是含蓄的說德國(guó)的數(shù)學(xué)十分差勁。

　　高斯說：“你認(rèn)為振興數(shù)學(xué)容易嗎？”

　　黎曼說：“很難，如果操作不當(dāng)，振興數(shù)學(xué)的事情就遙遙無期?！?p>　　高斯感慨的說：“說難也難，說容易也容易。這就看人了?！?p>　　黎曼說：“看人？一個(gè)國(guó)家想要振興科技或者數(shù)學(xué)，那必須要有制度才可以。一個(gè)健康向上的學(xué)術(shù)氛圍?！?p>　　高斯說：“不是的，你以為環(huán)境不好就不會(huì)出數(shù)學(xué)家，這個(gè)很不準(zhǔn)確。我想說，一個(gè)國(guó)家數(shù)學(xué)想要好，必須要有數(shù)學(xué)家?！?p>　　黎曼說：“一個(gè)國(guó)家的數(shù)學(xué)，不只是一個(gè)數(shù)學(xué)家。而是很多的數(shù)學(xué)家，合起來才算?！?p>　　高斯說：“有的時(shí)候，恐怕一個(gè)人的數(shù)學(xué)就要代表一個(gè)國(guó)家。”

　　黎曼說：“怎么可能，一個(gè)人可以代表一個(gè)國(guó)家的數(shù)學(xué)？”

　　高斯說：“有些國(guó)家的數(shù)學(xué)，其實(shí)就是那一兩個(gè)人給撐起來的。”

　　黎曼說：“不可能，一兩個(gè)人可以撐起一個(gè)國(guó)家的數(shù)學(xué)？”

　　高斯說：“恐怕這也是現(xiàn)實(shí)。有的時(shí)候，一個(gè)人就要代表一個(gè)學(xué)派，甚至要代表一個(gè)大學(xué)，甚至要達(dá)標(biāo)一個(gè)時(shí)代。數(shù)學(xué)也是這樣的，需要有一個(gè)能力強(qiáng)，感染力強(qiáng)的數(shù)學(xué)家。只有一個(gè)人，相信自己是最棒的，才可以理所應(yīng)當(dāng)?shù)膿?dān)負(fù)重任?！?p>　　黎曼說：“聽起來，這個(gè)人真是太可怕了。”

　　高斯說：“還不止如此，就是一個(gè)人僅僅發(fā)現(xiàn)了一個(gè)很有用的東西，就足夠光耀一個(gè)國(guó)家了?！?p>　　黎曼說：“太夸張了。”

　　高斯說：“我現(xiàn)在研究的，就是這樣的東西。”

　　黎曼說：“你在研究什么東西？”

　　高斯說：“我在找一種函數(shù)，這種函數(shù)可以去統(tǒng)計(jì)一些生活中常見的分布。比如說，一群人中身高的分布，一個(gè)班級(jí)中分?jǐn)?shù)的分布，一把大米灑出后的由多到少的分布等等?！?p>　　黎曼說：“那你怎么找呢？”

　　高斯說：“我找到了一種鐘形函數(shù)，這個(gè)鐘形函數(shù)可以通過改變參數(shù)來實(shí)現(xiàn)跟那些分布的合成。我們就可以那這種函數(shù)去做統(tǒng)計(jì)?；蛘哒f一個(gè)統(tǒng)計(jì)模型就可以用這個(gè)函數(shù)來表示了?！?p>　　黎曼說：“你找到這樣的公式了？”

　　高斯說：“沒錯(cuò)?！备咚拱压侥媒o了黎曼看，黎曼一看公式，也沒有什么特別。僅僅是有個(gè)自然對(duì)數(shù)e，在此基礎(chǔ)上有abc三個(gè)可以改變的參數(shù)。這種函數(shù)配出的圖形就是一個(gè)像鐘倒扣的一個(gè)圖形。

　　高斯說：“別小看我找到的這個(gè)函數(shù)，在很多領(lǐng)域上都會(huì)有用的。很多地方都會(huì)用這樣的鐘形函數(shù)。”

　　高斯說的高斯函數(shù)最后變化成正態(tài)分布函數(shù)。函數(shù)的不定積分是誤差函數(shù)。

　　在統(tǒng)計(jì)學(xué)與概率論中，高斯函數(shù)是正態(tài)分布的密度函數(shù)，根據(jù)中心極限定理它是復(fù)雜總和的有限概率分布。

　　高斯函數(shù)是量子諧振子基態(tài)的波函數(shù)。

　　計(jì)算化學(xué)中所用的分子軌道是名為高斯軌道的高斯函數(shù)的線性組合，量子化學(xué)中的基組。

　　在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，高斯函數(shù)在埃爾米特多項(xiàng)式的定義中起著重要作用。

　　高斯函數(shù)與量子場(chǎng)論中的真空態(tài)相關(guān)。

　　在光學(xué)以及微波系統(tǒng)中有高斯波束的應(yīng)用。

　　高斯函數(shù)在圖像處理中用作預(yù)平滑核，尺度空間表示。

　　高斯過程（Gaussian Process， GP）是概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)中隨機(jī)過程（stochastic process）的一種，是一系列服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量（random variable）在一指數(shù)集（index set）內(nèi)的組合。

　　高斯過程中任意隨機(jī)變量的線性組合都服從正態(tài)分布，每個(gè)有限維分布都是聯(lián)合正態(tài)分布，且其本身在連續(xù)指數(shù)集上的概率密度函數(shù)即是所有隨機(jī)變量的高斯測(cè)度，因此被視為聯(lián)合正態(tài)分布的無限維廣義延伸。高斯過程由其數(shù)學(xué)期望和協(xié)方差函數(shù)完全決定，并繼承了正態(tài)分布的諸多性質(zhì)。

　　高斯過程的例子包括維納過程、奧恩斯坦-烏倫貝克過程等。對(duì)高斯過程進(jìn)行建模和預(yù)測(cè)是機(jī)器學(xué)習(xí)、信號(hào)處理等領(lǐng)域的重要內(nèi)容，其中常見的模型包括高斯過程回歸（Gaussian Process Regression， GPR）和高斯過程分類（Gaussian Process Classification， GPC）。高斯過程的命名來自德國(guó)數(shù)學(xué)家卡爾·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）以紀(jì)念其提出正態(tài)分布概念。

　　高斯積分是在概率論和連續(xù)傅里葉變換等的統(tǒng)一化等計(jì)算中有廣泛的應(yīng)用。在誤差函數(shù)的定義中它也出現(xiàn)。雖然誤差函數(shù)沒有初等函數(shù)，但是高斯積分可以通過微積分學(xué)的手段解析求解。高斯積分（Gaussian integral），有時(shí)也被稱為概率積分，是高斯函數(shù)的積分。它是依德國(guó)數(shù)學(xué)家兼物理學(xué)家卡爾·弗里德里?！じ咚怪帐纤?