一般的函數(shù)，可以用坐標表示出圖形，顯而易見。
而有些數(shù)學，就像帶奇點的二階常微分方程。
歐拉在解二階常微分方程上，研究出了很多反常的東西，尤其是這種帶奇點的。
歐拉找到了一種形式，后來還找到了解法。
歐拉認為初等代數(shù)都可以由多項式或不等式來表示，而數(shù)學問題是不是都是有初等代數(shù)問題可以表示的，還在疑惑當中。
高斯突然想到，除了多項式以外，還要有包含除法的一種多項式，這就不僅僅是像多項式那么簡單了。這個帶了除法，且里面還帶有各種系數(shù)的多項式就是一種超幾何函數(shù)了。
高斯也沿著歐拉的軌跡向下走的，是n趨近無窮時2F1(a，b;c;z)=Σa(n)b(n)/c(n)*z^n/n!這樣的方程，其中的a(n)=a(a+1)……(a+n-1)這樣的階乘函數(shù)。
在數(shù)學中，高斯超幾何函數(shù)或普通超幾何函數(shù)2F1(a，b;c;z)是一個用超幾何級數(shù)定義的函數(shù)，很多特殊函數(shù)都是它的特例或極限。
波赫哈默爾對Kummer說：“這個函數(shù)中的z絕對值小于1 。”
Kummer說：“這個函數(shù)能干什么用？”
波赫哈默爾說：“很多函數(shù)都可以用這個方程表示?！?p> 波赫哈默爾然后開始寫出以下表示，作為例子。
ln(1+z)=z2F1(1，1;2;-z)
(1-z)^-a=2F1(a，1;1;z)
arcsinz=z2F1(1/2，1/2;3/2;z^2)
Kummer說：“我剛剛找到了b求無窮大的情形，名字叫合流超幾何函數(shù)。貝塞爾柱函數(shù)也可以由此函數(shù)表示出來?！?p> Kummer寫出合流超幾何函數(shù)，形式為M(a，c，z)=lim2F1(a，b;c;b^-1z)。
波赫哈默爾滿意的點點頭。
勒讓德函數(shù)，雅克比多項式，切比雪夫多項式，Gegenbauer多項式都能用超幾何函數(shù)表示。所有具有三個正則奇點的二階線性常微分方程的解都可以用超幾何函數(shù)表示。
其它特殊情形還包括Krawtchouk多項式，Meixner多項式，Meixner–Pollaczek多項式。
超幾何函數(shù)有Pfaff 變換和 Euler 變換，都是分式線性變換的例子，跟莫比烏斯變換有關(guān)系。
除此以外還有廣義超幾何函數(shù)，這是超幾何函數(shù)推廣，就是這個式子關(guān)于p(n)的項變得很多了
那么超幾何函數(shù)顯而易見離初等代數(shù)不遠，但是能不能納入初等代數(shù)中？這在圖形的本質(zhì)上，就變成了初等代數(shù)是否包含奇點？如果奇點太多，那指定不能看做是初等代數(shù)問題，但奇點在有限個甚至很少的時候，是不是就可以看做初等代數(shù)問題。