第三百零四章 黎曼流形（流形）

　　是一種用黎曼度量的微分流形。

　　黎曼流形就是給定了一個(gè)光滑的對(duì)稱、正定的二階張量場(chǎng)的光滑流形。

　　給了度量以后，我們就可以像初等幾何學(xué)中一樣，測(cè)量長(zhǎng)度，面積，體積等量。

　　流形是一類特殊的連通、豪斯多夫仿緊的拓?fù)淇臻g，在此空間每一點(diǎn)的鄰近預(yù)先建立了坐標(biāo)系，使得任何兩個(gè)(局部)坐標(biāo)系間的坐標(biāo)變換都是連續(xù)的。

　　n維流形的概念在18世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日的力學(xué)研究中已有萌芽。

　　19世紀(jì)中葉英國(guó)數(shù)學(xué)家凱萊(1843)、德國(guó)數(shù)學(xué)家格拉斯曼(1844，1861)、瑞士數(shù)學(xué)家施勒夫利(1852)分別論述了n維歐幾里得空間理論，把它視為n個(gè)實(shí)變量的連續(xù)統(tǒng)。

　　1854年德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼在研究微分幾何時(shí)用歸納構(gòu)造法給出一般n維流形的概念：n維流形是把無(wú)限多個(gè)(n-1)維流形按照一維流形方式放在一起而形成的，從此開始流形的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及其局部理論的研究。

　　法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加萊在19世紀(jì)末把n維流形定義為一種連通的拓?fù)淇臻g，其中每一點(diǎn)都具有和n維歐氏空間同胚的鄰域(被稱為龐加萊流形)，從而開辟了組合拓?fù)鋵W(xué)的道路。

　　對(duì)流形的深入研究集中在流形上的微分結(jié)構(gòu)與組合結(jié)構(gòu)的存在性、唯一性問(wèn)題，微分結(jié)構(gòu)與組合結(jié)構(gòu)的關(guān)系，流形的各種意義下的分類等問(wèn)題，20世紀(jì)50—60年代做出許多重要結(jié)果，近幾十年來(lái)出現(xiàn)有限維帶邊流形和無(wú)限維流形概念。

　　流形理論在與其他拓?fù)淅碚摰南嗷ソY(jié)合發(fā)展中也提出許多問(wèn)題，其研究仍在繼續(xù)。

　　流形上的黎曼度量給定后，我們可以得到一個(gè)唯一確定的對(duì)稱（即無(wú)撓）聯(lián)絡(luò)，并且它保持黎曼度量。這個(gè)聯(lián)絡(luò)稱為這個(gè)黎曼度量的Levi-Civita聯(lián)絡(luò)。

　　有了聯(lián)絡(luò)，我們就可以定義向量場(chǎng)的協(xié)變微分和協(xié)變導(dǎo)數(shù)，從而建立起流形上的微分學(xué)。歐氏空間的聯(lián)絡(luò)就是通常意義上的向量函數(shù)的微分。

　　黎曼度量還誘導(dǎo)出曲率的概念，它反映了流形的彎曲程度。曲率處處為零的流形稱為平坦黎曼流形。歐氏空間就是最常見的平坦流形。

　　德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯最早研究了曲面上的曲率，發(fā)現(xiàn)這種曲率是內(nèi)蘊(yùn)的，盡管它的定義式不是內(nèi)蘊(yùn)的。