黎曼和他的學生古斯塔·羅赫已經(jīng)開始著手研究關于空間流形的虧格理論。
這是一種研究流形有幾個洞的學問，在歐拉多面體虧格理論中已經(jīng)得到發(fā)揚。
黎曼對羅赫說：“我們開始使用復數(shù)坐標系中的數(shù)形結合，對不同的虧格物進行研究吧?！?p> 羅赫說：“我們要明白虧格在復數(shù)流形中，到底是一個什么形式，是零和無窮嗎？”
黎曼說：“沒錯，這就是洞，這兩個是一樣的東西。零和無窮大在表示中僅僅是互為倒數(shù)罷了?！?p> 羅赫說：“那除了這兩種洞以為，流形的其他地方必須是光滑而緊密的，這樣才合理，不能出現(xiàn)多個甚至無數(shù)個漏洞。說白了，就是除了極點的洞以外，其他地方絕對沒有洞這種結構存在。這樣的流形就是亞純函數(shù)。”
黎曼說：“沒錯，我們需要構造各種各樣我們想要的各種流形。就像我們在直角坐標系想要畫出各種函數(shù)圖像那樣來。”
羅赫說：“我們把這些流形，進行分類，或者還沒全畫出來的時候，就可以分類再說。”
黎曼說：“你知道如何分類嗎？”
羅赫說：“就目前而言，按照洞的個數(shù)分類，也就是虧格的數(shù)值分類?！?p> 黎曼說：“我們分完類后，就要使用代數(shù)表示的方法，將其歸類，只要看到方程，就一下子知道這個流形有幾個洞，甚至是其他重要的性質(zhì)。”
羅赫說：“如果要是這樣的話，就需要找到單元函數(shù)來構造，這種單元就是即合理最基本的結構。比如說直線、圓等等?！?p> 黎曼和羅赫說的單元結構就是代數(shù)簇。