索菲斯·李意識到矩陣計算的內(nèi)在復雜性，這是因為行列式那種奇怪的計算性質(zhì)導致的。還有，就是對矩陣這個含義的理解，本身也有很多層次的內(nèi)在復雜性。
其中就有非對易性，這是最重要也難以避免的一個性質(zhì)。
由于矩陣計算的特殊性，和矩陣本身含義的深邃性，他發(fā)現(xiàn)了一種關(guān)于矩陣計算的特殊代數(shù)。
只是，想著有些復雜，也許有用，還是更加深的用途。
所以對其解釋，需要專門引入一個嚴謹?shù)恼f法，肯定是有關(guān)矩陣一類的。
李與克萊因開始討論關(guān)于矩陣計算的一些問題：“我想研究一種代數(shù)，就是那種不符合交換律的那種?！?p> 克萊因說：“我知道，矩陣絕大部分都不符合?！?p> 李說：“也不符合結(jié)合律?！?p> 克萊因說：“這個有意思了，細細想想，其實矩陣不符合結(jié)合律。我們應(yīng)該建立一種新型代數(shù)了，名字就叫非結(jié)合代數(shù)?！?p> 李說：“非結(jié)合代數(shù)是很寬泛的，我知道的非結(jié)合的代數(shù)，是通過矩陣的性質(zhì)得來的。但是，我總覺得，不僅僅限于矩陣是這樣的，就是其他那些我還不知道的其他數(shù)學結(jié)構(gòu)，也會有這個?！?p> 克萊因在想：如果是超出矩陣的其他代數(shù)，也是可以表示非結(jié)合代數(shù)的，也不無可能。但是還有一種可能性，那就是任何代數(shù)都弄用矩陣來表示，就看會不會表示。
克萊因說：“到了現(xiàn)在，如果想要在數(shù)學上有突破。我們要在新的數(shù)學領(lǐng)域大展拳腳，只需要去規(guī)范一些極其簡單的數(shù)學法則，如果規(guī)劃好那些看似簡單的法則后，我們就可以以此為基礎(chǔ)去擴張自己的優(yōu)美而繁華的版圖了?！?p> 李說：“我們的夢。只是這個非結(jié)合代數(shù)，給人一種在思考上很別扭的感覺。又需要依賴有些難度但很重要的群論的結(jié)構(gòu)?！?p> 克萊因說：“我們已經(jīng)離不開群了，那些不愛學習群論的人，不要再碰數(shù)學?！?p> 李說：“非結(jié)合代數(shù)是環(huán)論里的一個分支，雖與結(jié)合代數(shù)有關(guān)，但是去掉了乘法結(jié)合律。這個東西難免存在，畢竟數(shù)學是廣泛到人類不會輕易政府的程度。發(fā)現(xiàn)了非交換的，那離非結(jié)合的還遠嗎？”
克萊因笑得肚子都疼了，對李說：“你要是用這種變態(tài)的思維研究數(shù)學，說不定整合上帝創(chuàng)造萬物的脾氣。就是想這個模型不好想?！?p> 后來，索菲斯·李創(chuàng)立李群。
若爾當是研究矩陣的專家，對矩陣的研究也規(guī)范到喪心病狂的程度，當然與李代數(shù)的很多非結(jié)合代數(shù)思維不謀而合了。
若爾當說：“李代數(shù)，你規(guī)范好了嗎？”
李說：“很多概念，有子代數(shù)、理想、正規(guī)群等等?！?p> 若爾當突然說：“在你心中，有些看似等于0的東西，并不見得真的是0吧。”
李知道若爾當說的是那些基的矩陣表示，用行列式直接解，那就等于零。
李說：“或許這個代數(shù)的神秘之處恰恰在此，我的矩陣的斜對角化簡完后，是都等于0的，按理說就是0 了吧。但是這些東西相互做一些計算，那也能算出很多花樣來，而且你也不能說那就不對吧。”
若爾當笑道：“矩陣里只要有一個東西不為零，那就不是嚴格的零，對不對吧，你就是這個意思吧。你心里早就這么想了吧?！?p> 李說：“沒錯，我就是這個意思了，我攤牌了。”
若爾當說：“大膽，你這個神經(jīng)病，那都是虛妄的，行列式算出來是0的，那就是0.你居然閑的無聊說它們不是0.還有拿它們計算。你對數(shù)學不負責任，你是在玩耍?！?p> 李說：“你敢對上帝發(fā)誓嗎？矩陣里只有一個地方不是0，你必須按0來算？”
若爾當笑道：“跟你開玩笑呢，我太支持你了，你的非結(jié)合代數(shù)當然以此為根基。我要給你點贊。”
最初是由19世紀挪威數(shù)學家，經(jīng)過一個世紀，特別是19世紀末和20世紀的前葉，由于威廉·基靈、嘉當、外爾等人卓有成效的工作，李代數(shù)本身的理論才得到完善，并且有了很大的發(fā)展。
李代數(shù)是挪威數(shù)學家索菲斯·李在19世紀后期研究連續(xù)變換群時引進的一個數(shù)學概念，它與李群的研究密切相關(guān)。
在更早些時候，它曾以含蓄的形式出現(xiàn)在力學中，其先決條件是“無窮小變換”概念，這至少可追溯到微積分的發(fā)端時代。
可用李代數(shù)語言表述的最早事實之一是關(guān)于哈密頓方程的積分問題。
李是從探討具有r個參數(shù)的有限單群的結(jié)構(gòu)開始的，并發(fā)現(xiàn)李代數(shù)的四種主要類型。
法國數(shù)學家嘉當在1894年的論文中給出變數(shù)和參變數(shù)在復數(shù)域中的全部單李代數(shù)的一個完全分類。
他和德國數(shù)學家基靈都發(fā)現(xiàn)，全部單李代數(shù)分成4個類型和5個例外代數(shù)，嘉當還構(gòu)造出這些例外代數(shù)。
嘉當和德國數(shù)學家外爾還用表示論來研究李代數(shù)，后者得到一個關(guān)鍵性的結(jié)果。
到20世紀80年代，李代數(shù)不再僅僅被理解為群論問題線性化的工具，它還是有限群理論及線性代數(shù)中許多重要問題的來源。
李代數(shù)的理論不斷得到完善和發(fā)展，其理論與方法已滲透到數(shù)學和理論物理的許多領(lǐng)域。