1880年，龐加萊（Poincaré）發(fā)表了關于自守函數(shù)的重要結果。
1883年，龐加萊發(fā)表了一篇論文，開啟了多復變解析函數(shù)理論的研究。
1892年，龐加萊出版了三卷本《天體力學的新方法》（Les Méthodes nouvelles de la mécanique céleste）的第一卷。他旨在完全刻畫機械系統(tǒng)的所有運動，援引流體流動的類比。他還證明，以前例如德勞內（Delaunay）用于研究三體問題的級數(shù)展開是收斂的，但一般不是一致收斂。這使人懷疑拉格朗日和拉普拉斯給出的關于太陽系穩(wěn)定性的證明。
1894年，龐加萊開始了代數(shù)拓撲的工作。
1895年，龐加萊出版了《位置分析》（Analysis situs），這是他的第一本拓撲學著作，給出了這個專題的較早的系統(tǒng)性處理。他是代數(shù)拓撲的創(chuàng)始人，發(fā)表了這個專題的6篇論文。他引入了基本群。
1904年，龐加萊提出龐加萊猜想：每個同倫等價于3維球面的3維閉流形必定是3維球面。
1904年，龐加萊在一個講座中提出一種相對性理論來解釋邁克爾遜-莫雷實驗。
1908年，龐加萊出版了《科學與方法》（Science et méthode），這也許是他最著名的大眾讀物。
“大家要考慮這個問題，這個猜想所延伸的問題。”
教課是查爾斯·厄米特，他一邊在黑白上寫著復雜而古怪的符號，一邊在畫各種表示抽象思想的圖。此時，他想把世界性的難題就這樣任性的拋給自己的學生。
突然看到一個學生回答道：“使用怎樣的簡單幾何，和構造方法，做成一個特定序列，然后構造出我們想要的復雜的幾何體？我覺得不是什么難事呀！”
查爾斯·厄米特看了看亨利·龐加萊，聽到這句話就想笑。雖然他是要把這種難題要扔給學生們去解決的，但是如此不走心的回答，還是讓查爾斯·厄米特有些反感。
“別著急去這樣說，你給我說說，有什么辦法？”
亨利·龐加萊想了想說：“一個復雜的曲面形狀，是可以由無數(shù)個等邊三角形構造出來的。”
查爾斯·厄米特噗嗤的笑了一聲：“你是剛學的吧，不對，你看到一個復雜的曲面，一下子就能知道如何用無數(shù)個等邊三角形來構造？你幼稚了！首先這無數(shù)個等邊三角形都是大小相等的嗎？如果不相等，那應該如何去選取大??？”
“先用最大的覆蓋一下，看看，在小的地方再用次等大的用最大的覆蓋，每一個空隙使用盡可能最大的三角形去覆蓋，蓋到最小的為止?！焙嗬嫾尤R說著話，帶有要豁出去的意思了。
“哈哈，什么叫蓋到最?。坑卸嘈。渴遣皇窃谡`差范圍之內的不用管就可以了？”查爾斯·厄米特隨著亨利·龐加萊的意思，也在試圖推導，而不急于去反駁他的觀點。對于查爾斯·厄米特來說，解決問題，有的時候比提出問題更值得去珍惜，老師的批判應該有水平，而不去做一個情緒化的大杠精。
“沒做，做某一個項目的時候，這種誤差小的，根本不影響工程，而且這樣去做出無數(shù)的三角形的辦法，完全說可取的?！焙嗬嫾尤R認為自己想的很完美，只要是認真思考過的問題，就沒有解決不了的辦法。
“我發(fā)現(xiàn)兩個問題，第一就是去根據(jù)形狀去計算覆蓋三角形的最大形狀，這也不是一下子就能夠算出來的。第二就是隨著空隙的增加，去用三角形填空的過程也會變得極為繁瑣復雜。”查爾斯·厄米特想要反駁的方式去測測亨利·龐加萊的能力，最重要的是要測一測亨利·龐加萊的耐力。
“如果不能夠快速給出形狀，就用隨機的辦法來化最大三角形，就沒必要遍歷的去比較哪個三角形面積是最大的了。而填空這種過程，就使用軟件的算法，能不能用分布式的解決來計算了?！焙嗬嫾尤R認為這種辦法也是可取的，沒必要非得去找最大三角形，只要隨機快速的找到足夠大就可以，這樣的計算過程就會加快，而且這樣的下面的計算過程也會因此而加快。
查爾斯·厄米特心里在想，那這種構造的序列就是，先知道這個曲面，然后隨機畫上三角形填滿，并記錄三角形信息，之后隨機的沒填一個三角形，就記錄一個三角形的信息，知道剩下的空隙在誤差范圍內就可以。
“即使用了這個辦法，尋找空隙的算法，還是會很麻煩的。因為你不知道這里是不是覆蓋過的?！辈闋査埂ざ蛎滋剡€是疑惑的說。
“那就把每一個覆蓋進行記錄，然后遇到空隙后，計算空隙的中心坐標，中心坐標在覆蓋好的三角形之外，就足夠了?！焙嗬嫾尤R繼續(xù)說：“你在序列里直接加上這個程序就可以了?！?p> “你說的隨機給形狀，還有判定空隙沒有被三角形覆蓋等等，這就是查爾斯·厄米特猜想里的模糊問題了?？障稕]有被三角形覆蓋，你的算法可能是錯誤的，萬一有空隙很小，但質心在覆蓋三角形中心處的凹形結構。即使你有其他算法了，但是也是很復雜的了。”查爾斯·厄米特就用這樣的方式告訴大家，查爾斯·厄米特猜想的困難性。
亨利·龐加萊瞬間來了興趣，他認為自己應該用基本的幾何體去勾結一個復雜的三維形狀。
亨利·龐加萊的腦子里開始用正四面體結構來堆放處一個形狀的東西，并且試圖讓這個東西進行一個變換。
0維單形是一個點，一維單形是一條線段，二維單形是一個三角形，三維單形是一個四面體，n維單形是一個具有n+1個頂點的廣義四面體。