第三百四十一章 龐加萊猜想（拓?fù)鋵W(xué)）

　　龐加萊想平面之間的等價(jià)性還是很容易的。

　　一個(gè)皮球，是一個(gè)面組成了，可以平展成一個(gè)面的形狀。

　　這是讓一個(gè)二維的面從三維空間中轉(zhuǎn)化成立二維空間。

　　如果是四維空間的皮球，是否能夠平展成二維空間的平面？

　　一般人粗略的一想，還以為可以。

　　但是龐加萊敏銳的洞察到，四維空間中的皮球，不是一個(gè)二維的面。

　　或許是個(gè)三維的體，搞不好就是三維空間的實(shí)心球體。

　　這個(gè)想法突破了一般人的認(rèn)知，但在數(shù)學(xué)是是輕松可以推論的。

　　只是這需要去證明才行。

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　　拓?fù)洹备叭骸币粯右彩且环N對(duì)結(jié)構(gòu)的描述，但是它不再專注于結(jié)構(gòu)的外觀、尺度，而只關(guān)心結(jié)構(gòu)的性質(zhì)，即不再進(jìn)行定量研究轉(zhuǎn)而進(jìn)行定性研究，這是數(shù)學(xué)發(fā)展史上又一次偉大的突破。

　　比如我們可以把一個(gè)癟了的球、一個(gè)正方體、一個(gè)十二面體都認(rèn)為具有同樣的拓?fù)洌驗(yàn)檫@些結(jié)構(gòu)在三維空間中都是封閉的，它們都可以通過連續(xù)變換變成一個(gè)球。你可以想象這些物體都是橡皮做的，只要充滿氣，就能把它們漲成完美的球形，在拓?fù)鋵W(xué)中我們說這些結(jié)構(gòu)與球是同胚的。具有同胚拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的空間幾何體在遵循“不撕裂不扯破”的原則下能夠任意相互變換。所謂“不撕裂不扯破”就是不破壞構(gòu)成結(jié)構(gòu)體的各點(diǎn)之間的關(guān)系，比如A點(diǎn)和B點(diǎn)是相鄰的，在變換之后A點(diǎn)與B點(diǎn)仍然是相鄰的。有一種結(jié)構(gòu)，無論你用同樣的方式怎么努力，也不能變成球形，那就是輪胎。這是因?yàn)檩喬ヅc球具有不同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，球是單聯(lián)通的，而輪胎是雙聯(lián)通的。

　　歐拉公式揭示了拓?fù)湫再|(zhì)與對(duì)稱性之間的聯(lián)系，在單聯(lián)通多面體結(jié)構(gòu)，只能產(chǎn)生5種完美對(duì)稱，我們真實(shí)的宇宙一樣具有某些拓?fù)湫再|(zhì)，這些拓?fù)湫再|(zhì)也同樣對(duì)對(duì)稱性有約束，因此才形成了我們所見的宇宙。

　　克萊因瓶

　　它和莫比烏斯帶非常相像，實(shí)際上是莫比烏斯帶的三維擴(kuò)展，但是與之不同的是，克萊因瓶是一個(gè)閉合的曲面，也就是說它沒有邊界。我們可以想象將兩個(gè)相反的莫比烏斯帶的邊縫合在一起，就構(gòu)成了一個(gè)克萊因瓶。莫比烏斯帶必須跨越到3維或更高維的空間才得以形成，克萊因瓶則跨越到于四維或更高維空間中才能制造出來，它在我們的三維空間中是不可能存在的，它實(shí)際上是在四維空間中將三維空間的正反兩面扭曲連接到一起。

　　拓?fù)鋵W(xué)上最傳奇的故事莫過于龐加萊猜想了。1904年，龐加萊在一篇論文中提出了一個(gè)看似很簡(jiǎn)單的拓?fù)鋵W(xué)的猜想：在一個(gè)三維空間中，假如每一條封閉的曲線都能收縮到一點(diǎn)，那么這個(gè)空間一定是一個(gè)三維的圓球，即任何單聯(lián)通的三維封閉流形都同胚于三維球面。后來這個(gè)猜想被推廣至三維以上空間，被稱為“高維龐加萊猜想”，即“任何與n維球面同倫的n維封閉流形必定同胚于n維球面”。前面我們已經(jīng)講過同胚是指通過不撕裂不扯破的連續(xù)變換可以變?yōu)橥瑯有螤畹男再|(zhì)，同倫則是比同胚更寬松的變換，比如我們可以把一個(gè)三維的球壓扁在一張紙上變成一個(gè)二維的圓盤，然后在二維的圓盤上長出幾根刺，這個(gè)圖形與原來三維的球都是同倫的。龐加萊猜想其實(shí)意味著在我們的三維空間中的任何封閉物體，不管是一塊磚頭，一個(gè)人，還是一臺(tái)拖拉機(jī)，只要它是封閉的，在四維空間中它就必然能連續(xù)變換成四維空間中的三維球面。換句話說，正如三維球體的邊界是一個(gè)二維封閉球面一樣，四維球體的邊界其實(shí)就是三維的封閉球面，這個(gè)球面去掉一個(gè)點(diǎn)展開來就是整個(gè)三維空間，任何在這個(gè)三維空間中封閉的物體都可以通過拉伸、彎曲、延展變成一個(gè)三維的封閉球面。類似三葉結(jié)這樣的結(jié)構(gòu)在三維空間中當(dāng)然不能變成一個(gè)球，但是在四維空間中，這樣的變換就變得輕而易舉。

　　一個(gè)多世紀(jì)以來，無數(shù)的科學(xué)家為了證明“龐加萊猜想”傾盡了畢生的心血也沒有能夠完成。希臘著名的拓?fù)鋵W(xué)家帕帕在臨終前，把一疊厚厚的證明手稿托付給一位數(shù)學(xué)家朋友，然而那位數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)了其中的錯(cuò)誤，他為了讓帕帕不留遺憾地離去，最后選擇了沉默，這只是龐加萊猜想證明史上無數(shù)悲歌中一首。2000年5月24日，美國克雷數(shù)學(xué)研究所的科學(xué)顧問委員會(huì)把龐加萊猜想列為七個(gè)“千禧年大獎(jiǎng)難題”之一。這七道問題被研究所認(rèn)為是對(duì)人類科學(xué)發(fā)展最為重要的定理，克雷數(shù)學(xué)研究所的董事會(huì)決定建立七百萬美元的大獎(jiǎng)基金，每個(gè)問題的解決都可獲得百萬美元的獎(jiǎng)勵(lì)，因?yàn)槿魏我粋€(gè)問題的解決，都將人類對(duì)于宇宙的認(rèn)識(shí)提升到新的層次，而龐加萊猜想被公認(rèn)為七個(gè)難題中最不可能被證明的一個(gè)。盡管舉步維艱，但前方似乎總在閃動(dòng)著曙光，一群拓?fù)鋵W(xué)的先驅(qū)前仆后繼，鋪就一條通往遙遠(yuǎn)彼岸的浮橋，

　　斯梅爾完成了對(duì)龐加萊猜想的五維空間和五維以上的證明；

　　福里德曼給出了四維空間的證明；

　　瑟斯頓引入了幾何結(jié)構(gòu)的方法對(duì)三維流形進(jìn)行切割；

　　丘成桐和李偉光發(fā)展出了一套用非線性微分方程的方法研究幾何結(jié)構(gòu)的理論；

　　漢密爾頓給出了里奇流奇點(diǎn)的理解；

　　而默默無聞的俄羅斯猶太裔數(shù)學(xué)家格里戈里·佩雷爾曼則完成了最后的證明。

　　龐加萊猜想跟圓結(jié)構(gòu)密不可分。我們知道，自然界中普遍存在著圓、球及跟圓密切相關(guān)的螺旋，圓是相當(dāng)神奇的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，它有一些看似普通但卻深刻的性質(zhì)。在幾何學(xué)中，圓是在N維空間中距離一點(diǎn)距離相同的所有點(diǎn)的集合，在二維平面上圓方程為x^2+y^2=r^2，即平面中與同一點(diǎn)距離相同的點(diǎn)組成的環(huán)，是平面封閉流形的一種特殊形式。圓的性質(zhì)之一是封閉性，它將維度空間隔離為截然不同的兩部分，一部分為內(nèi)部空間，一部分為外部空間。圓內(nèi)空間為有限，圓外空間為無限，圓內(nèi)邊緣與圓外邊緣具有截然相反的性質(zhì)，內(nèi)圈為負(fù)曲率，外圈為正曲率。圓的性質(zhì)之二是連續(xù)性，用數(shù)學(xué)術(shù)語來說是可積可導(dǎo)的，它連續(xù)彎曲變化，沒有折疊、沒有斷裂，最終首尾精巧相連，一切都圓融自然。圓的性質(zhì)之三是它可以收縮為點(diǎn)，圓收縮為點(diǎn)的性質(zhì)其實(shí)對(duì)應(yīng)圓所包圍的面，在這個(gè)面中所有的點(diǎn)都可通過連續(xù)變換收縮于其中的一點(diǎn)，收縮過程可以是通過不斷縮小半徑變換為更小半徑的圓面，原有圓面中的每個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)著新圓面中的點(diǎn)，且點(diǎn)與點(diǎn)之間保持原有的相鄰關(guān)系，不折斷也不破裂。圓拓?fù)涞男再|(zhì)之四是有限無界性，我們的地球就是這樣一種結(jié)構(gòu)，有限的體積，但表面沒有界限，這體現(xiàn)了宇宙的絕妙創(chuàng)意，它讓宇宙本身首尾相連、循環(huán)相依、渾然天成、自成一體。這樣的結(jié)構(gòu)既能使宇宙整體展現(xiàn)完整與自恰，也能讓其內(nèi)部的生命體感到無限開放、無拘無束。我們知道，作為自然界大統(tǒng)一理論備選方案的M理論是由不同種類的弦論組成的，而弦論又都是建立在開弦、閉弦及膜的基礎(chǔ)之上的?？梢哉f，在M理論中，開弦、閉弦及膜的拓?fù)渥儞Q及維度擴(kuò)展最終演化形成了整個(gè)宇宙的復(fù)雜結(jié)構(gòu)。而線對(duì)應(yīng)“開弦”，圓環(huán)對(duì)應(yīng)“閉弦”，圓面對(duì)應(yīng)“膜”，它們都是宇宙中的最基本的結(jié)構(gòu)，不同之處在于開弦有兩個(gè)自由的端點(diǎn)，閉弦沒有自由的端點(diǎn)，而膜則可以變換成開弦與閉弦。從某種意義上來說，圓面是比圓環(huán)、線段更為基本的東西，因?yàn)樗芯S度的空間在高于它的維度空間看，都只是一層扁平的薄膜，比如從四維空間中來看，地球?qū)嶋H上是一張三維膜，而黑洞的奇點(diǎn)正是三維膜收縮而成的點(diǎn)。借用一位中國學(xué)者的觀點(diǎn)：“借助龐加萊猜想熵流，用空心圓球不撕破和不跳躍粘貼，能把內(nèi)表面翻轉(zhuǎn)成外表面，可證時(shí)間之箭的起源，還能把熱力學(xué)與量子論、相對(duì)論、超弦論和圈量子引力論等相聯(lián)系”，這讓我們似乎看到了揭開時(shí)間之謎的一把拓?fù)鋵W(xué)之鑰，如果時(shí)間的本質(zhì)是“概率的不可逆”，那么這種概率的不可逆就可能對(duì)應(yīng)于“把空心圓球不撕破和不跳躍粘貼，能把內(nèi)表面翻轉(zhuǎn)成外表面”的拓?fù)渥儞Q性質(zhì)，宇宙的爆發(fā)以及膨脹也許正是在執(zhí)行這種變換。

　　龐加萊猜想帶給我們新的宇宙觀：每個(gè)N維球面都包裹著N+1維的一塊世界，也可以說每個(gè)N維的世界，都是由N+1維的世界支撐著。跟我們通常認(rèn)為的相反，低維世界恰恰是依附于高維世界而存在的，因?yàn)榈途S世界只是高維世界中物體的分界。正如人類是以地球的二維球面為支撐，生長在宇宙的三維球面上。當(dāng)然不排除還有其他的生命形式以宇宙的三維空間為支撐，生長在更廣闊的四維球面上(下圖為四維球在三維空間中投影結(jié)構(gòu))。