第三百九十六章 伯恩賽德的表示理論（群論）
英國數(shù)學(xué)家威廉·伯恩賽德在講一些數(shù)學(xué)問題的時候，經(jīng)常把表示理論這樣的詞說出來。
喬迪·威廉姆森說：“你一直說表示理論，這樣的詞，這是你的口頭禪，還是一個數(shù)學(xué)理論。”
伯恩賽德說：“是一個理論?！?p> 喬迪懷疑的問到：“表示的是什么？”
伯恩賽德說：“就是一種是一種把復(fù)雜的事物用較簡單的事物‘表示’的方法。”
喬迪說：“我問的具體的是什么？是群？”
伯恩賽德說：“即使是群也有很多中不同的表示呢？”
喬迪嘆氣說：“我試著猜猜，比如用不可約群的組成來表示任何一個群這一類型的對吧？”
伯恩賽德說：“這是其中之一，復(fù)雜的對象通常是數(shù)學(xué)對象的集合，比如數(shù)字或?qū)ΨQ性，它們彼此之間有著特殊的結(jié)構(gòu)關(guān)系?！?p> 喬迪說：“聽起來不像是新東西，就是一個東西找基本單位而已。”
伯恩賽德說：“在1897年的時候，我覺得這種非正統(tǒng)的觀點根本不會產(chǎn)生任何新結(jié)果。我只是在用矩陣的方法表示一切，畢竟數(shù)學(xué)家基本上知道關(guān)于矩陣的一切。它是為數(shù)不多的被完全理解的數(shù)學(xué)科目之一。而且他完善到可以表示任何一種東西?！?p> 喬迪說：“可問題是，關(guān)于你說的表示理論，研究這個問題是否合理，現(xiàn)在還不清楚。”
伯恩賽德說：“這種問題讓人難以察覺，但是隨著數(shù)學(xué)的深入發(fā)展，肯定越來越重要。比如群組很重要，我們要把它們表示出來，而比較簡單的對象是稱為矩陣的數(shù)字?jǐn)?shù)組，它是線性代數(shù)的核心元素。群組是抽象的，通常很難掌握，而矩陣和線性代數(shù)是基本的。要了解如何用矩陣表示群組，有必要依次考慮每個對象?！?p> 喬迪說：“恩，比如李群的表示就需要這樣。”
伯恩賽德說：“舉個粒子，考慮一個等邊三角形的六種對稱性：兩個旋轉(zhuǎn)對稱，120度和240度，三種反射對稱，從每個頂點繪制的線穿過對邊的中點，一個恒等對稱，對三角形不做任何改變。這六種對稱形成了一個封閉的元素宇宙，也就是一個群組，它的正式名稱是S_3。它們組成了一個組，因為您可以按任意順序?qū)⑷我鈹?shù)量的它們應(yīng)用到三角形中，并且最終結(jié)果將與僅應(yīng)用一個對稱性相同。例如，先反射三角形，然后將它旋轉(zhuǎn)120度，重新排列頂點，就像你僅僅執(zhí)行了一個不同的對稱變換一樣。數(shù)學(xué)家將兩種對稱的結(jié)合稱為合成：一組反射與另一組旋轉(zhuǎn)的一個組合產(chǎn)生第三組，稱之為不同的反射。你可以像數(shù)學(xué)家一樣，把合成看作是乘法運算。如果考慮非零實數(shù)，這是最容易看出的，它們也構(gòu)成了一組。實數(shù)有一個單位元素，用數(shù)字1。任何與1組合或乘以1的實數(shù)保持不變。你也可以乘任意實數(shù)的組合，以任何你想要的順序，乘積總是一個實數(shù)。數(shù)學(xué)家們說，實數(shù)組在乘法下是“封閉的”，這意味著你不會僅僅通過元素的乘法就離開這個實數(shù)集群組?！?p> 喬迪說：“要按照你說的那個例子，李群包含無限多個元素，而不是六個元素。”
伯恩賽德說：“沒錯，要解決一個重要的問題，往往需要理解與之相關(guān)的特定群組。但是大多數(shù)群組比等邊三角形的對稱群組更難理解。我們不可避免要面對表示理論的領(lǐng)域，它把有時神秘的群組的世界轉(zhuǎn)換成充分約束的線性代數(shù)領(lǐng)域?！?p> 喬迪說：“是的，它們編碼質(zhì)數(shù)、幾何空間和幾乎所有數(shù)學(xué)家最關(guān)心的東西的信息?！?p> 伯恩賽德說：“只不過你要用矩陣，也就是線性代數(shù)來表示這些，里面就會出現(xiàn)擴大、平移、反轉(zhuǎn)、剪切、選擇和反射這樣的詞匯。這些就相當(dāng)與我們數(shù)學(xué)中的加減乘除這樣的東西一般?！?p> 喬迪說：“我剛剛想多了，還以為你找到你加減乘除模之外的新的運算方式呢?！?p> 伯恩賽德說：“表示理論根據(jù)一定的規(guī)則，為群組中的每個元素分配一個矩陣，從而在群組理論和線性代數(shù)之間架起了一座橋梁。例如，必須將群組中的單位元素分配為單位矩陣。分配還必須尊重群組中元素之間的關(guān)系。如果一個反射乘以給定的旋轉(zhuǎn)等于第二次反射，那么分配給第一次反射的矩陣乘以分配給旋轉(zhuǎn)的矩陣必須等于分配給第二次反射的矩陣。符合這些要求的矩陣集合稱為群組的表示。該表示提供了一組簡化的圖像，就像黑白圖像可以作為原始彩色圖像的低成本模板。換句話說，它“記住”了關(guān)于這個群組的一些基本但重要的信息，卻忽略了其他的信息。數(shù)學(xué)家的目標(biāo)是避免糾纏于一個群組的全部復(fù)雜性；相反，他們通過觀察它在轉(zhuǎn)化為簡化的線性變換格式時的行為來了解它的性質(zhì)?！?p> 喬迪說：“一個群組幾乎總是可以以多種方式表示。例如，S_3在使用實數(shù)填充矩陣時有三種不同的表示：簡單表示、反射表示和符號表示?！?p> 伯恩賽德說：“我們進下來的工作就是將給定群組的表示形式整理成一個表，稱為字符表，該表總結(jié)了有關(guān)組的信息。行引用每個不同的表示，列指的是這個表示中的重要矩陣：分配給組中的單位元素的矩陣，以及分配給組中“生成”元素的矩陣，這些元素一起產(chǎn)生所有其他元素。表中的條目是一個稱為每個矩陣的“trace”的值，通過對從矩陣左上角到右下角的對角條目求和來計算。字符表提供了該組的簡化圖。其中的每個表示提供的信息略有不同。數(shù)學(xué)家將各種觀點結(jié)合成一個整體印象?！?p> 喬迪說：“你有很多不同的表征，它們記住不同的東西，當(dāng)你把所有的信息放在一起時，你就能在某種意義上看到你的團隊的這種萬花筒般的畫面。”
伯恩賽德說：“當(dāng)然，我們肯定就是要把問題簡化，所以一些最有效的表示法既不涉及實數(shù)也不涉及復(fù)數(shù)。相反，他們使用的是帶有“模塊化”數(shù)字系統(tǒng)的條目的矩陣。這是時鐘算術(shù)的世界，在這個世界里，7 + 6環(huán)繞12小時的時鐘等于1。具有相同字符表，使用實數(shù)表示的兩組可能具有不同的字符表的使用模塊化表示，從而允許你將它們區(qū)分開來?！?p> 自一個多世紀(jì)以來，“表示理論”一直是許多最重要的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的關(guān)鍵成分。然而，它的用處在一開始還是很難被察覺。
今天，“表示理論”是許多數(shù)學(xué)領(lǐng)域的中心工具（代數(shù)，拓?fù)?，幾何，?shù)學(xué)物理和數(shù)論等）。這種表示理論的哲學(xué)在20世紀(jì)下半葉已經(jīng)吞噬了大量的數(shù)學(xué)。
表示理論在安德魯·懷爾斯1994年對費馬最后定理的里程碑式證明中發(fā)揮了重要作用。問題是關(guān)于a^n + b^n = c^n這種形式的方程是否存在整數(shù)解。
懷爾斯證明當(dāng)n大于2時，不存在這樣的解。然而，直接證明它的不存在太困難了。
相反，懷爾斯使用的是一組模塊表示，如果群組存在的話，這些表示就會被附加到組上。他證明了這一族模表示不存在，這意味著群組不存在，這意味著解也不存在。
這也就意味著，在威廉·伯恩賽德認(rèn)為表征理論無用的100年后，它成為了20世紀(jì)最著名的證明理論的關(guān)鍵組成部分。
溫斯坦說:“我無法想象費馬最后定理的任何證明，都與表示理論無關(guān)?！?