第五百九十七章 扎里斯基拓?fù)洌ǜ判停?/h1>
扎里斯基早年在基輔大學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)，對(duì)代數(shù)和數(shù)論很感興趣，在意大利深造期間，他深受三位意大利卡斯泰爾諾沃、恩里克斯、塞維里在古典代數(shù)幾何領(lǐng)域的深刻影響。
意大利幾何學(xué)者們的研究方法本質(zhì)上很富有“綜合性”，他們幾乎只是根據(jù)幾何直觀和論據(jù)，因而他們的證明中往往缺少數(shù)學(xué)上的嚴(yán)密性。
扎里斯基的研究明顯帶有代數(shù)的傾向，他的博士論文就與純代數(shù)數(shù)學(xué)有著密切聯(lián)系，精確地說(shuō)是與伽羅瓦理論密切聯(lián)系。
當(dāng)然也就激發(fā)了他在研究方程的時(shí)候，也會(huì)用到環(huán)論這樣的思想。
取得博士學(xué)位後，他在羅馬的研究工作仍然主要是與伽羅瓦理論有密切聯(lián)系的代數(shù)幾何問(wèn)題。
一九三七年扎里斯基的研究發(fā)生了重要的變化，其特點(diǎn)是變得更代數(shù)化了。
他所使用的研究方法和他所研究的問(wèn)題都更具有代數(shù)的味道〔這些問(wèn)題當(dāng)然仍帶有代數(shù)幾何的根源和背景〕。
扎里斯基對(duì)意大利幾何學(xué)者的證明感到不滿意，他確信幾何學(xué)的全部結(jié)構(gòu)可以用純代數(shù)的方法加以重新建立。
在一九三五年左右，現(xiàn)代化數(shù)學(xué)已經(jīng)興盛起來(lái)，最典型的例子是諾德與范德瓦爾登有關(guān)論著的發(fā)表。
范德瓦爾登從這個(gè)觀點(diǎn)出發(fā)把代數(shù)幾何抽象化，但是只取得了一部分成就，而扎里斯基卻獲得了巨大成功。
扎里斯基開(kāi)始研究如果方程在坐標(biāo)系里有一種圖形，能不能從方程中翻譯出拓?fù)鋵W(xué)的一些性質(zhì)呢？
對(duì)于這個(gè)方程來(lái)說(shuō)，也有一種拓?fù)鋵W(xué)的那種洞。
而這個(gè)洞，必須是一種無(wú)窮大那樣的奇點(diǎn)。
最簡(jiǎn)單的奇點(diǎn)是通常二重點(diǎn)，還有尖點(diǎn)，迷向點(diǎn)，ADE奇點(diǎn)（確切地說(shuō)這是曲面奇點(diǎn)，但是它可以對(duì)應(yīng)成曲線奇點(diǎn)）
他的博士論文主要是把所有形如f(x)-tg(x)=0的方程分類，這里面f和g是多項(xiàng)式，x可以解為線性參數(shù)t的根式表達(dá)式。扎里斯基說(shuō)明這種方程可分為五類，它們是三角或橢圓方程。
ADE奇點(diǎn)就是代數(shù)曲面上的有理二重點(diǎn)，它可以通過(guò)奇點(diǎn)解消的方式爆發(fā)成為ADE曲線。
ADE奇點(diǎn)有五種類型：
A_n型：對(duì)應(yīng)方程z^2=x^2+y^n
D_n型：對(duì)應(yīng)方程z^2=y(x^2+y^)（n≥4）
E_6型：對(duì)應(yīng)方程z^2=x^3+y^4
E_7型：對(duì)應(yīng)方程z^2=x(x^2+y^3)
E_8型：對(duì)應(yīng)方程z^2=x^3+y^5
任何ADE奇點(diǎn)都是超曲面奇點(diǎn)，也是循環(huán)商奇點(diǎn)。它們的有理典范除子是零，重?cái)?shù)是2。
除此以外有無(wú)窮大點(diǎn)，不連續(xù)的拐折點(diǎn)。
為了嚴(yán)格下定義，扎里斯基認(rèn)為方程等于0，x一階導(dǎo)等于0，y一階導(dǎo)為0，就可以稱之為奇點(diǎn)了。
如果f(x，y)的泰勒展開(kāi)中不包含一次項(xiàng)的話，否則就稱該點(diǎn)是光滑點(diǎn)。
換句話說(shuō)，我們冪級(jí)數(shù)展開(kāi)f(x，y)=ax+by+cx^2+dxy+ey^2+高次項(xiàng)，如果a和b不全為零，那么該原點(diǎn)就稱為C的光滑點(diǎn)，否則就稱為奇點(diǎn)。
一個(gè)帶有奇點(diǎn)的平面曲線 C 必定是某個(gè)射影空間中的光滑曲線 C'到射影平面的投影。 找出這樣的光滑曲線 C'的過(guò)程，稱為 C 的奇點(diǎn)解消或者正規(guī)化。
曲線奇點(diǎn)有很一些有趣的不變量來(lái)刻畫，比如它的重?cái)?shù)（就是泰勒展開(kāi)式中最低項(xiàng)的次數(shù)），局部分支數(shù)，幾何虧格，Milnor數(shù)等等。
這些不變量之間有著一定的聯(lián)系，對(duì)它們的研究屬于奇點(diǎn)拓?fù)溥@一分支。
扎里斯基對(duì)萊夫謝茨說(shuō)：“我聽(tīng)了你的代數(shù)幾何的拓?fù)鋯?wèn)題后，想到讓方程的拓?fù)鋵W(xué)體現(xiàn)出來(lái)，就可以從代數(shù)簇中直接進(jìn)行。代數(shù)簇的思想，不就是所有的方程本來(lái)都是多項(xiàng)式，而多項(xiàng)式僅僅有加法和乘法。就相當(dāng)于是代數(shù)簇在做很多加和乘的運(yùn)算來(lái)組成各種曲線，那么就是環(huán)的作用而形成曲線。代數(shù)幾何的問(wèn)題也就是交換環(huán)的理想的問(wèn)題?！?p> 萊夫謝茨說(shuō)：“那你要是研究方程的拓?fù)湫再|(zhì)，就從環(huán)這個(gè)結(jié)構(gòu)開(kāi)始就行了。”
扎里斯基知道這些方程不需要在坐標(biāo)系里定位，所以用了仿射空間，或者叫線性空間，只需要表示他們的形狀就行。
仿射空間，又稱線性流形，是數(shù)學(xué)中的幾何結(jié)構(gòu)。這種結(jié)構(gòu)是一種特殊的線性空間，是歐式空間的仿射特性的推廣。在仿射空間中，點(diǎn)與點(diǎn)之間做差可以得到向量，點(diǎn)與向量做加法將得到另一個(gè)點(diǎn)，但是點(diǎn)與點(diǎn)之間不可以做加法。
然后扎里斯基的工作就是把這些方程變成拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)了。
在一九二七至一九三七年間，扎里斯基給出了關(guān)于曲線C 的經(jīng)典的黎曼-羅赫定理的拓?fù)渥C明，在這個(gè)證明中他引進(jìn)了曲線 C 的 n重對(duì)稱積 C(n)來(lái)研究 C 上度數(shù)為 n 的除子的線性系統(tǒng)。
在三十年代，扎里斯基把克魯爾的廣義賦值論應(yīng)用到代數(shù)幾何，特別是雙有理變換上，他是從這方面來(lái)奠定代數(shù)幾何的基礎(chǔ)，并且作出了實(shí)質(zhì)性的貢獻(xiàn)。
扎里斯基和其他的數(shù)學(xué)家在這方面的工作，大大擴(kuò)展了代數(shù)幾何的領(lǐng)域：首先，由復(fù)數(shù)域到一般域；其次，由代數(shù)曲線、曲面推廣到一般代數(shù)簇，定義是完全內(nèi)蘊(yùn)的，也就是拋掉裝著代數(shù)簇的外圍空間。
他還證明了下述扎里斯基主要定理：“如果雙有理對(duì)應(yīng)在正規(guī)定 p 外不是正則的，那么 p 的像的各個(gè)分支的維數(shù)大于等于一?！庇纱岁U明了雙有理對(duì)應(yīng)的性質(zhì)。
對(duì)于奇點(diǎn)解消問(wèn)題，即射影空間中任意不可約代數(shù)簇都能夠雙有理地變換為射影空間內(nèi)的不帶奇點(diǎn)的代數(shù)簇，在特征為零及維數(shù)小于等于三時(shí)，他給出了證明。
一九四四年，他又證明了特征為〇的域上三維代數(shù)簇的奇點(diǎn)可以解消。
域 k 上的不可約代數(shù)簇 V，如果它的函數(shù)域上 k 上是純紹越的，就稱為一個(gè)有理簇。
扎里斯基給出了判別代數(shù)閉域上的完備光滑曲面 S 是有理的一個(gè)充分必要準(zhǔn)則。
這個(gè)重要準(zhǔn)則，現(xiàn)在稱為卡斯泰爾諾沃-扎里斯基判別準(zhǔn)則。
關(guān)于代數(shù)曲面，扎里斯基還嚴(yán)格地證明了卡斯泰爾諾沃的定理：設(shè) L 為代數(shù)閉域 k 上兩變量有理函數(shù)域 k(x，y)的子域且包含 k，如果 k(x， y)在 L 上為可分代數(shù)的，那么 L 是 k 上的二元有理函數(shù)域。
在代數(shù)曲面的理論中，尋求與給定的代數(shù)曲面雙有理等價(jià)的非奇異代數(shù)曲面的問(wèn)題，是這個(gè)領(lǐng)域中最基本的問(wèn)題之一，扎里斯基在特征為〇的域上給出了基于賦值論的純代數(shù)的證明。
關(guān)于代數(shù)曲面的分類，扎里斯基和其他數(shù)學(xué)家給出了完整的結(jié)果。
他還引進(jìn)正規(guī)簇和正規(guī)化的概念，并應(yīng)用于線性系、雙有理變換及代數(shù)對(duì)應(yīng)等理論中。
關(guān)于諾德環(huán)，他得出：若半局部整環(huán) R 是一個(gè)域上的有限生成環(huán)的商環(huán)，則 R 是解析非分歧的，若 R 還是正規(guī)局部環(huán)，則 R 是解析正規(guī)的。
他還指出，即使以更一般的理想的冪引入拓?fù)洌磺欣硐肴允情]集。
在關(guān)于局部一致性的研究中，扎里斯基導(dǎo)入了代數(shù)簇 V 上的拓?fù)?，現(xiàn)在稱為扎里斯基拓?fù)?。在這個(gè)拓?fù)渲?V 的閉子集就是 V 的代數(shù)子簇。
在一九四九至一九五一年間，他發(fā)展了在簇 V 上的全形態(tài)方程以及在簇 V 的代數(shù)子簇上這種方程的解析連續(xù)性的半球理論，這個(gè)理論使他能夠給出一個(gè)新的、嚴(yán)密的對(duì)退化原理和恩里克斯連續(xù)定理的證明。一九五〇年他還發(fā)展了局部環(huán)論。
一九六四至一九七八年間，扎里斯基主要關(guān)心兩個(gè)新理論的發(fā)展：在簇 V上的等奇異性理論和飽和性理論。
等奇異點(diǎn)簇。
從古典幾何到現(xiàn)在，奇異的等效性只在代數(shù)曲線上有定義。因此，只能對(duì) W 具有維數(shù) r-1 而 V 具有維數(shù) r 的情形下發(fā)展一個(gè)完全的關(guān)于等奇異性的理論。
扎里斯基和其他美國(guó)和外國(guó)數(shù)學(xué)家〔特別是法國(guó)數(shù)學(xué)家〕後來(lái)致力于發(fā)展一個(gè)具有任何維數(shù)的簇 V 和其子簇 W 的等奇異性的可能性的一般理論。
飽和性理論在某種意義上是等奇異性理論的特殊情況。
這個(gè)理論是已經(jīng)在 W 上等奇異性的 V 建立一個(gè)在最小意義下的等奇異性的標(biāo)準(zhǔn)，即它是在 W 上的解析乘積。
扎里斯基關(guān)于飽和性的一般定理的證明為這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)提供了依據(jù)。
扎里斯基對(duì)極小模型理論也作出了貢獻(xiàn)。
他在古典代數(shù)幾何的曲面理論方面的重要之一，是曲面的極小模型的存在定理〔一九五八年〕。
它給出了曲面的情況下代數(shù)-幾何間的等價(jià)性。
這就是說(shuō)，代數(shù)函數(shù)域一經(jīng)給定，就存在非奇異曲面〔極小模型〕作為其對(duì)應(yīng)的“好的模型”，而且射影直線如果不帶有參數(shù)就是唯一正確的。
因此要進(jìn)行曲面的分類，可考慮極小模型，這成了曲面分類理論的基礎(chǔ)。
具有仿射結(jié)構(gòu)的集合就是一個(gè)仿射空間。
從A的扎里斯基拓?fù)渚涂烧T導(dǎo)得代數(shù)簇的扎里斯基拓?fù)洹?p> 扎里斯基對(duì)代數(shù)幾何做出做出了重大貢獻(xiàn)。
代數(shù)幾何是研究關(guān)于高維空間中由若干個(gè)代數(shù)方程的公共零點(diǎn)所確定的點(diǎn)集，以及這些點(diǎn)集通過(guò)一定的構(gòu)造方式導(dǎo)出的對(duì)象即代數(shù)簇。
從觀點(diǎn)上說(shuō)，它是多變量代數(shù)函數(shù)域的幾何理論，也與從一般復(fù)流形來(lái)緊密地結(jié)合起來(lái)。
從方法上說(shuō)，則和交換環(huán)論及同調(diào)代數(shù)有著密切的聯(lián)系。