第六百章 巖澤理論（數(shù)論）

　　數(shù)論中，巖澤理論是理想類群的伽羅瓦模理論，由日本數(shù)學(xué)家?guī)r澤健吉于1950年代提出，是割圓域理論的一部分。

　　1970年代初，考慮了巖澤理論在阿貝爾簇上的推廣。

　　1990年代初，拉爾夫·格林伯格將巖澤理論應(yīng)用到動(dòng)形理論。

　　巖澤健吉起初觀察到代數(shù)數(shù)論中某些數(shù)域所成的塔的伽羅瓦群同構(gòu)于p進(jìn)數(shù)所構(gòu)成的加法群。

　　這個(gè)群通常寫作Γ 并采乘法符號(hào)，它是加法群 Z/p^nZ的逆極限，其中p是固定的素?cái)?shù)而。

　　我們可以用龐特里亞金對(duì)偶定理得到另一種表法：Γ對(duì)偶于所有復(fù)數(shù)域里的p-次單位根所成的離散群。

　　自巖澤理論在1950年面世起，已經(jīng)有了一套豐富的理論。

　　人們注意到在模論與黎貝和Heinrich-Wolfgang Leopoldt在1960年定義的p進(jìn)數(shù)L-函數(shù)間有根本的聯(lián)系。

　　后者從函數(shù)在負(fù)整數(shù)點(diǎn)的取值（與伯努利數(shù)有關(guān)）作插值，得到狄利克雷L函數(shù)在p進(jìn)數(shù)域的類比。

　　顯然此理論有希望從庫(kù)默爾一個(gè)世紀(jì)創(chuàng)建前的正則素?cái)?shù)理論向前邁進(jìn)。

　　“巖澤理論主猜想”被陳述為：以兩種不同方法定義的 p進(jìn)數(shù)L-函數(shù)（模理論/插值法）應(yīng)當(dāng)相等，只要它們是明確定義的。

　　這個(gè)猜想在Q上的情形最后由貝利·馬祖爾（Barry Mazur）與安德魯·懷爾斯證明，并由懷爾斯證明所有實(shí)域的情形，稱作馬祖爾-懷爾斯定理。

　　他們仿造肯尼斯·阿蘭·黎貝證明埃爾布朗定理之逆定理（即所謂埃爾布朗-黎貝定理）的辦法。

　　近來(lái) Chris Skinner 與 Eric Urban 也仿用肯尼斯·阿蘭·黎貝的辦法，公布了GL(2)的“主猜想”的一個(gè)證明。

　　借由 Kolyvagin 發(fā)展的歐拉系統(tǒng)，可以得到馬祖爾-懷爾斯定理更初等的證明（請(qǐng)參見 Washington 的書）。

　　Karl Rubin 等人用歐拉系統(tǒng)得到主猜想其它的推廣形式。