第六百三十四章 陳氏類

　　我們的最后兩片拼圖，陳氏類和黎奇曲率，是彼此相關(guān)的，它們是源自于幾何學(xué)家嘗試將黎曼面從復(fù)一維推廣到多維，并從數(shù)學(xué)上刻畫這些推廣結(jié)果之間差別的努力。

　　這把我們帶到一個重要定理：高斯—博內(nèi)定理，它適用于緊致黎曼曲面，以及其他任何無邊界的緊致曲面。

　　“邊界”在拓?fù)渲械亩x很直觀：圓盤是有邊界的，亦即有明確界定的邊緣，而球面則沒有。在球面上，不管你朝哪個方向走，而且不管走多遠(yuǎn)，都不會碰到或接近任何邊緣。

　　這個定理是在19世紀(jì)時由高斯和法國數(shù)學(xué)家博內(nèi)（Pierre Bonnet）所提出的，它建立了曲面的幾何性質(zhì)及其拓?fù)湫再|(zhì)之間的關(guān)系。

　　高斯—博內(nèi)公式是說，上述曲面的總高斯曲率（或高斯曲率的積分）等于2π乘以該曲面的“歐拉示性數(shù)”（Euler characteristic）。而歐拉示性數(shù)χ（希臘字母chi）則又等于2-2g，其中g(shù)是曲面的虧格（也就是曲面的“洞”數(shù)或“把手”數(shù)）。舉例來說，二維球面沒有洞，所以它的歐拉示性數(shù)是2。在此之前，歐拉提出了另一條求任何多面體歐拉示性數(shù)的公式：χ=V-E+F，其中V是頂點數(shù)，E是邊數(shù)，F(xiàn)是面數(shù)。以四面體為例，χ=4-6+4=2，與球面的χ值相同。一個立方體有8個頂點、12個邊和6個面，所以χ=8-12+6=2，再次和球面相同。因為歐拉示性數(shù)只和物體的拓?fù)?，而非幾何形狀有關(guān)，那么這些幾何相異，但拓?fù)湎嗤奈矬w有著相同的χ值當(dāng)然很合理。歐拉示性數(shù)χ是空間的第一個主要的“拓?fù)洳蛔兞俊保簿褪窃谕負(fù)涞葍r但外觀可能極為不同的各個空間上（例如球面、四面體和立方體），都能維持不變的性質(zhì)。再回到高斯—博內(nèi)公式。由此，二維球面的總高斯曲率是2π×2=4π。至于二維環(huán)面，因為它的χ是0（2-2g=2-2=0），所以環(huán)面的總高斯曲率是0。把高斯—博內(nèi)的原理推廣到更高維，就會把我們帶到陳氏類。

　　一個可賦向（或是有兩面）的曲面，拓?fù)渖峡捎善錃W拉示性數(shù)來描述。計算多面體的歐拉示性數(shù)有一條簡單的公式（多面體即是由平坦的面和直線的邊所構(gòu)成的形體）。歐拉示性數(shù)χ等于頂點數(shù)減邊數(shù)，再加上面數(shù)。對于本圖所示的長方體，其值為2。四面體的歐拉示性數(shù)也是2（=4-6+4），四角錐也同樣是2（=5-8+5）。因為這些物體都是拓?fù)涞葍r的，所以它們理所當(dāng)然有著相同的歐拉示性數(shù)2

　　陳氏類是由我的指導(dǎo)老師陳省身所發(fā)展的理論，是一種在數(shù)學(xué)上刻畫不同復(fù)流形的概略方法。簡單來說，如果兩個流形的陳氏類不同，它們就不可能相同；反之卻不一定成立：兩個不同的流形可能具有相同的陳氏類。

　　復(fù)一維的黎曼面只有一個陳氏類，即第一陳氏類，而對于這個情況，正好等于歐拉示性數(shù)。一個流形的陳氏類數(shù)目，視其維數(shù)而定，例如復(fù)二維的流形具有第一和第二陳氏類。至于弦論所關(guān)心的復(fù)三維（或?qū)嵙S）流形，則有三個陳氏類。它的第一陳氏類為六維空間中的實二維子空間（子流形）各對應(yīng)到一整數(shù)，其中所謂子空間是原空間的一部分形體，就像紙張（二維）可以擺在辦公室（三維）里一樣。類似地，第二陳氏類為空間中的實四維子流形各對應(yīng)一整數(shù)。第二陳氏類則為這個復(fù)三維（或?qū)嵙S）的流形本身指定一個數(shù)字，也就是歐拉示性數(shù)χ。事實上，對于任何復(fù)n維的流形，它的最后一個，亦即第n個陳氏類必定對應(yīng)到流形的歐拉示性數(shù)。

　　但陳氏類究竟告訴了我們什么？或者說，指定這些數(shù)字的目的何在？其實這些數(shù)對于子流形本身并沒提供多少信息，但是對于整個流形，它們卻透露出許多重要的訊息。這在拓?fù)鋵W(xué)是很常見的：當(dāng)要了解復(fù)雜、高維的物體結(jié)構(gòu)時，我們經(jīng)常檢視此物體中的子物體的數(shù)目和類型。

　　打個比方，假設(shè)你給身在美國的每個人都編上不同編號。那么，為個人指定的數(shù)字絲毫無助于理解他或她本人，但若把這些數(shù)字匯總起來，就可以呈現(xiàn)出更大的“物體”——美國本身——的重要情報，例如人口規(guī)模、人口成長率等。

　　我們還可以再舉一個具體實例，來解釋這個相當(dāng)抽象的概念。讓我們依照慣例，從很簡單的物體開始。球面是一個復(fù)一維或?qū)嵍S的曲面，它只有一個陳氏類，在這個情況等于歐拉示性數(shù)?；叵胍幌?，我們在第2章討論過，居住在球形行星上時，關(guān)于氣象學(xué)和流體力學(xué)的一些影響。例如風(fēng)有沒有可能在地表上的每一點都是由西向東吹？在赤道以及赤道之外的任何緯度線，都很容易想象風(fēng)如何向東吹。但是在南極和北極的極點（這兩點可以被視為奇點），卻根本沒有風(fēng)，這是球面幾何的必然結(jié)果。對于這種有著明顯例外的特殊點的曲面，它的第一陳氏類不等于零。

　　第一陳氏類（對于本圖中的二維曲面來說，正好等于歐拉示性數(shù)）與向量場中流動停滯的地方有關(guān)。在像地球的球面上，我們可以看到兩個這樣的點。如果流動是從北極往南極流（左上圖），在兩個極點上，所有表示流動的向量會彼此抵消，因此凈流動為零。同理，如果流動是由西向東（右上圖）還是會有兩個根本沒有流動的停滯點，同樣又是出現(xiàn)在北極點和南極點，因為在此根本沒有西向、東向可言。如果是環(huán)面，情形就不同了。在此，流動可以是鉛直的（左下圖）或水平的（右下圖），都不會遇到停滯點。由于環(huán)面上的流動沒有奇點，所以它的第一陳氏類是零，而球面的則不是零。