第六百六十二章 伊夫·梅爾的小波理論

　　1960年，Yves Meyer伊夫·梅爾的小波

　　小波理論允許我們將各種不同類型的信息分解為更簡單的組件，從而使信息分析、處理和儲存變得更加簡單。因此，小波理論被應(yīng)用在非常廣泛的領(lǐng)域中，包括調(diào)和分析應(yīng)用和計算、數(shù)據(jù)壓縮、降噪、醫(yī)學(xué)成像、歸檔、數(shù)字電影以及引力波探測等等。

　　2016年，LIGO探測到兩個黑洞合并輻射出的引力波事件，其信號分析正是應(yīng)用了小波理論。

　　有趣的是，Meyer的工作靈感并不是來自于數(shù)學(xué)的，而是來自于石油工業(yè)。

　　在1980年代，法國工程師Jean Morlet想要知道如何更好的利用地震數(shù)據(jù)來尋找石油。

　　Morlet分析了從石油勘探中收集到的反射數(shù)據(jù)。

　　將振動向地面?zhèn)魉?，并收集回聲?p>　　這跟蝙蝠利用聲吶的原理一樣。

　　問題是如何分析反射回來的數(shù)據(jù)，并提取關(guān)于石油層的有價值的信息。

　　Morlet和物理學(xué)家Alex Grossmann想到了一個分析信號的方法，并且引入了一種新的函數(shù)類別，稱為“小波”（wavelets），該函數(shù)通過對固定函數(shù)進(jìn)行伸縮和平移而得出。

　　然而，石油工業(yè)對此并不感興趣。

　　Morlet的方法并沒有被采用，但他們的論文依然在1984年的春天發(fā)表在科學(xué)期刊上。

　　一年之后，Meyer正在巴黎綜合理工學(xué)院復(fù)印東西的時候，他的同事給他復(fù)印了關(guān)于Morlet的那篇論文。在前往馬賽的火車上，他發(fā)現(xiàn)了小波的巨大潛力。

　　數(shù)學(xué)家和工程師早就知道一個分析和處理特定類型信息的強(qiáng)大工具：傅里葉分析。

　　聲音是用來解釋傅里葉分析的最佳例子。

　　例如，音叉發(fā)出來的中央A的聲音由一個完美的正弦波代表。這是一個正弦波。它往左和右無限地延伸。由于正弦波和余弦波相關(guān)，因此這也可以看做是余弦波的表示。

　　其它的聲音，比如小提琴奏出的相同音符，就更加復(fù)雜。

　　但是，后來我們發(fā)現(xiàn)任何周期性的聲音，事實上是任何類型的周期信號，都可以被分解成不同頻率的正弦波和余弦波的總和。

　　函數(shù) f會隨著時間改變，代表了一個聲波。

　　傅里葉變換過程會將函數(shù)f分解成特定頻率和振幅的正弦波。

　　傅里葉變換被表示為頻域上的峰值，峰值的高度顯示了那個頻率下的波的振幅。

　　傅里葉分析是個非常有用的工具。

　　它也可以被用來分析和處理圖像以及其它類型的信息。

　　但是，它也有缺陷：因為基本的組件——正弦波和余弦波——是周期性的，傅里葉分析只有在重復(fù)信號中才能發(fā)揮最強(qiáng)大的作用。

　　但對于那些具有不規(guī)則特征（比如峰值等）的非周期信號就不是那么管用了。

　　不幸的是，在大部分現(xiàn)實生活的現(xiàn)象中，從說話的聲音到地震數(shù)據(jù)，都屬于非周期類別。

　　這個波形來自人類的聲音。它有規(guī)律，但不是周期的。

　　這也是小波理論登場的時候。

　　顧名思義，小波就是一個“很小的波”。

　　理論的基礎(chǔ)是一個“母小波”（mother wavelet），是振蕩函數(shù)的一小部分。

　　振蕩的頻率各有不同，同樣地，小波的寬度也各有不同。

　　但它們之間有著緊密的聯(lián)系：頻率越高，寬度越窄。

　　通過改變母小波的尺度，可以產(chǎn)生女兒小波（daughter wavelets），比如縮小（頻率增高）、放大（頻率降低）或移動。

　　一個信號，比如我們講話的聲音，就可以用這一簇小波的組合來表示。

　　這種分解可以使我們能夠捕捉在信號中的重復(fù)信息，利用一系列逐漸縮小版本的母小波也使我們可以放大局域的不規(guī)則性（比如峰值）。

　　為了儲存這樣的一個信號分解，你只需要描述原來母小波的信息，以及不同女兒小波的貢獻(xiàn)。

　　它們就已經(jīng)足夠可以把原信號重新構(gòu)建起來。

　　前者的變量只有頻率ω，后者則有兩個變量：尺度a（控制小波函數(shù)的伸縮）和平移量τ（控制小波函數(shù)的平移）。

　　小波理論的最初想法可以追溯到很早以前。

　　數(shù)學(xué)家 Alfréd Haar在一百年前就已經(jīng)構(gòu)建了小波的一個版本。

　　Haar的小波有一些漂亮的性質(zhì)，但也有些不足。

　　而 Meyer在小波理論的發(fā)展中起到了關(guān)鍵作用，是他構(gòu)建了小波理論的強(qiáng)有力的堅實數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

　　Meyer所作出的首個重大貢獻(xiàn)是構(gòu)造了具有光滑性的正交小波基。

　　在 Morlet構(gòu)造的小波分析中，Meyer小波基中的所有函數(shù)都是通過平移和伸縮可以明確指定的單個光滑性“母小波”來生成。

　　Morlet所構(gòu)造的小波盡管從本質(zhì)上看非?；A(chǔ)，但卻相當(dāng)不可思議。

　　隨后，Stéphane Mallat和 Yves Meyer系統(tǒng)地發(fā)展了多分辨率分析理論，這是構(gòu)造小波基的通用框架。

　　在1980年代后期和1990年代初，信號處理迎來了“小波革命”，小波變換也被應(yīng)用在了許多基本信號處理的任務(wù)上。

　　例如，壓縮（比如JPEG2000圖像壓縮格式）和去噪，以及更現(xiàn)代的應(yīng)用（比如壓縮傳感）。

　　FBI也是利用小波來儲存指紋信息，否則就會占據(jù)大量的儲存空間。

　　此外，Meyer的工作還推動了調(diào)和分析和偏微分方程式領(lǐng)域的重要理論發(fā)展，從證明Lipschitz曲線上柯西積分的有界性（由Coifman、McIntosh和Meyer解決），到發(fā)展理解在偏微分方程的非線性效應(yīng)不可缺少的新工具（比如補(bǔ)償緊致等）。

　　不僅如此，Meyer還在準(zhǔn)晶體、奇異積分算子和納維-斯托克斯方程式等課題作出了重要貢獻(xiàn)。

　　可以說，Meyer的工作和洞見不僅推動了純數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)分析的應(yīng)用方面的發(fā)展，還為二者之間架起了卓有成效的溝通橋梁。

　　Stéphane Mallat稱他為“有遠(yuǎn)見的人”，他的工作不屬于任何一個領(lǐng)域（比如純數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)或計算機(jī)科學(xué)），它只能用“神奇”來標(biāo)簽。