第六百六十六章 彭羅斯鋪陳（結(jié)構(gòu)）

　　見過很多地方鋪的地磚，這些地磚都有一定的周期性。彭羅斯就研究過地磚的形狀和鋪設(shè)的效果。

　　周期性鋪陳方式是指你可以描出一個區(qū)域的輪廓，通過平移這個區(qū)域就可以鋪陳整個平面，所謂平移就是在不通過旋轉(zhuǎn)或者翻轉(zhuǎn)的情況下移動這個區(qū)域的位置。

　　荷蘭藝術(shù)家埃舍爾因其繪畫中的數(shù)學(xué)性而聞名，作品多以平面鑲嵌、不可能的結(jié)構(gòu)、悖論、循環(huán)等為特點，從中可以看到分形、對稱、雙曲幾何、多面體、拓撲學(xué)等數(shù)學(xué)概念的形象表達。

　　其中一對毗連的黑鳥和白鳥構(gòu)成了一個平移鋪陳的基本區(qū)域。

　　只有在鋪陳方式為周期性時，你才能在不通過旋轉(zhuǎn)的情況下將這張紙移動到一個新的位置，使得所有輪廓都再次恰好相符。

　　彭羅斯認為周期性的鋪陳當(dāng)然好研究，那有沒有非周期性的鋪陳呢？

　　彭羅斯發(fā)現(xiàn)，用全同的等腰直角三角形或四邊形，很容易將國際象棋的棋盤轉(zhuǎn)換為一種非周期性鋪陳方式。

　　還有一種不同面積大小，但長寬比例相等的長方形也可以非周期性的鋪陳。

　　這就帶有了螺旋形式了，那么非周期鋪陳必須得是帶螺旋形式一類的鋪陳嗎？如果擺脫？

　　Michael Goldberg說：“你要是這樣想，那我也能把螺旋弄成都是相等的，最后還是周期的，只是單個都是螺旋的擺了，每個螺旋的中心還是一個晶格點陣。哈哈?！?p>　　彭羅斯說：“那也能弄成很多螺旋的，大小不同的，非周期的，而且也能按照更大螺旋的那樣擺放。”

　　Michael Goldberg說：“你沒有擺脫周期和循環(huán)的這兩種排列方式，看似眼花繚亂，但是本質(zhì)單一。精明的人還是可以一眼看出。”

　　彭羅斯說：“是否存在著一些只能非周期性鋪陳的鑲嵌片集合？我們說“只能”的意思是，無論是單一的形狀或子集，還是整個集合，都不能作周期性鋪陳，但是通使用它們?nèi)浚陀锌赡軜?gòu)成一種非周期性的鋪陳方式。其中允許進行旋轉(zhuǎn)和翻轉(zhuǎn)。”

　　在數(shù)十年間，專家們曾相信不存在這樣的組合，但是結(jié)果證明這種猜想不成立。

　　1961年，王浩說：“對于任意一組給定的骨牌，是否能以某種方式鋪陳而使得其相鄰邊都具有相同顏色，鋪陳時不允許旋轉(zhuǎn)和翻轉(zhuǎn)。”最后王浩發(fā)現(xiàn)王式鋪磚。

　　這個問題的重要性在于，它與符號邏輯中的決策問題有關(guān)。王浩推測，任意一組能夠鋪陳為平面的鑲嵌片都能夠周期性地鋪陳為平面；他還證明，如果事實確實如此的話，那么就存在著一種這種鋪陳的決策方法。

　　1964年，伯杰（ Robert Berger）在哈佛大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)博士學(xué)位論文中證明，王浩的推測不成立。

　　不存在任何普遍適用的方法，因此只存在一組只能非周期性鋪陳的王氏磚。

　　伯杰用兩萬多塊骨牌構(gòu)造出了這樣一個組合。后來他發(fā)現(xiàn)了一個小得多的組合，它由104塊骨牌構(gòu)成。

　　而高德納則將這個數(shù)字減小到92。

　　這樣的一組王氏磚很容易轉(zhuǎn)化為只能非周期性鋪陳的多邊形鑲嵌片。你只要將其邊緣做成凹凸形以構(gòu)成一塊塊的拼圖，而它們以先前用顏色規(guī)定的方式相配。

　　一條先前某種顏色的邊只能與另一條先前為同樣顏色的邊相配，并且對于其他各種顏色也能得出一種相同的關(guān)系。

　　羅賓遜（ Raphael M. Robinson）通過允許這樣的鑲嵌片旋轉(zhuǎn)和翻轉(zhuǎn)，構(gòu)造出六片從上文所解釋的意義上來說強制產(chǎn)生非周期性鋪陳的鑲嵌片。

　　1977年安曼發(fā)現(xiàn)了另一組不同的六片鑲嵌片，它們也強制產(chǎn)生非周期性鋪陳。

　　這種正方形鑲嵌片是否能減少到六片以下尚未可知，不過我們有充分的理由相信六就是最小值了。

　　1973年，彭羅斯發(fā)現(xiàn)了一組六片強制產(chǎn)生非周期性鋪陳的鑲嵌片。

　　1974年，他發(fā)現(xiàn)了一種將它們減少為四片的方法。此后不久，他又將它們減少到兩片。

　　關(guān)于彭羅斯的宇宙，還存在某種更為令人驚奇的事情。從一種奇特的有限意義上來說，由于受到“局部同構(gòu)定理”的制約，所有的影羅斯圖案都是相似的。彭羅斯證明：任何圖案中的每一個有限區(qū)域，都包含在所有其他圖案中的某處。此外，它在每種圖案中出現(xiàn)無窮多次。

　　為了理解這種情形有多么狂，請想象你正居住在一個無限大平面上，這個平面由不可數(shù)的無窮多種彭羅斯鋪陳中的一種鑲嵌而成。你可以在這不斷擴張的面積上一片一片地檢查你的圖案。無論你探索多大的面積，你都無法確定自己是處在哪一種鋪陳方式上。去往遠處以及檢查不相連的區(qū)域都毫無幫助，因為所有這些區(qū)域都屬于一個大的、有限的區(qū)域，而這個區(qū)域在所有圖案中都被精確地復(fù)制了無窮多次。當(dāng)然，對于任何周期性鑲嵌圖而言，這都是顯而易見的事實，然而彭羅斯宇宙并不是周期性的。它們有無窮多種方式使得彼此顯得不同，卻又只能在觸不可及的極限上才能將它們彼此區(qū)分開來。

　　假設(shè)你已探究過一個直徑為d的圓形區(qū)域。我們把它稱為你所居住的“鎮(zhèn)”。突然之間，你被傳送到一個隨機選擇的平行的彭羅斯世界。你離一個與你家鄉(xiāng)的鎮(zhèn)里的街道一模一樣的圓形區(qū)域有多遠？康韋用一條超凡卓越的定理給出了答案。從你家鄉(xiāng)的鎮(zhèn)的邊界到那個一模一樣的鎮(zhèn)的邊界的距離，絕不會超過黃金比例的立方的一半的d倍，或者說就是2.11+[譯者注：這里的加號（+）表示（1.61803398…）3=2.1180399…]乘以d。（這是一個上限，而不是平均值。）如果你朝著正確的方向走，那么你不需要超過這個距離，就會發(fā)現(xiàn)自己置身于你自己家鄉(xiāng)的鎮(zhèn)的精確復(fù)制品中。這條定理也適用于你身處的宇宙。每一種大的圓形圖案（有無窮多種不同的圖案）都可以朝某個方向走過一段距離而到達，這個距離必定小于這個圖案直徑的大約兩倍，更有可能大約就等于該直徑。