一階邏輯是一種不能量化的簡單的屬性邏輯。與高階邏輯和數(shù)理邏輯不一樣。它不允許量化性質(zhì)。性質(zhì)是一個物體的特性；所以一個紅色物體被表述為有紅色的特性。
里面有很多“任意有”和“必須存在”這樣的符號。
我們可以大膽地設想，把整個數(shù)學理論內(nèi)容用一階邏輯表達式全部寫出來，成果就像是一本”天書“，一般人很難看得懂。但是，布爾巴基學派偏要這樣做，否則，似乎不夠”意思“，不過”癮“。因此，我們能夠想像，在布爾巴基的《數(shù)學基礎叢書》里面各種稀奇古怪的數(shù)學謂詞多得去了。對此，有人說，這純粹是形式主義，但是，也有人說，這就是現(xiàn)代數(shù)學的本來面目。
1935年，邱奇發(fā)明了“λ演算”，來源證明一階邏輯沒有通用判定而發(fā)明的，但對于今天的計算機科學家是一件無價的工具。
在函數(shù)式語言中，函數(shù)的排列更像是個鏈條，而不是我們說些的那些方程式。意思是后一個函數(shù)可以從前一個函數(shù)得出。
寫出一個函數(shù)后，也要寫出要帶入的變量的值，這樣在計算過程中就可以讓變量值和帶入值進行交換就可以了。丘奇發(fā)明這種演算后，他的學生們完善了這種工具。
同年邱奇出版了《初等數(shù)論中的一個未解決問題》。其中包含了邱奇定理，它表明算術沒有判定程序。在理論計算機科學中，有了可計算性概念復嚴格的數(shù)學刻劃，才使證明一系列重要的數(shù)學問題的算法不可解性成為可能。
遞歸函數(shù)是一個自己調(diào)用自己的函數(shù)。
“算法可計算函數(shù)都是遞歸函數(shù)”這一丘奇論題提出，算法可計算性這個直觀概念才有了精確的數(shù)學刻劃。
丘奇雖然不是搞計算機的，但是他的這些工具都服務于計算機了，圖靈證明自己的圖靈機器里很多東西跟丘奇的演算理論等價。