第三百三十章 熱爾曼素數(shù)

　　不會鉆牛角尖的！

　　既然蘇陌都已經(jīng)這么說了。

　　楊濟自然也不會過多的說什么。

　　“沒問題，你自己把控好就成，其實我覺得，費馬大定理他當(dāng)初的時候，真的未必能夠全部證明出來，或者說這只是他的推論，畢竟當(dāng)初就寫下了這么一個想法！”

　　“在十七世紀(jì)的時候，雖然數(shù)學(xué)蓬勃發(fā)展，但也不是萬能的！”

　　楊濟對此還是持有懷疑的觀點。

　　畢竟這個費馬定理，只是一道題而已。

　　這種東西就算是推導(dǎo)出來了，對學(xué)術(shù)界的貢獻也沒有那么大！

　　最多只能夠算是在某些方面比較好罷了！

　　“我也就是閑得無聊，而且費馬定理其實跟我現(xiàn)在證明的哥德巴赫猜想也是有相同的地方！”

　　蘇陌繼續(xù)說道，同時指著費馬定理的推論道：“這里面最感興趣的其實是熱爾曼素數(shù)，對于質(zhì)數(shù)p來說，若2p + 1亦為質(zhì)數(shù)，那么質(zhì)數(shù)p為索菲熱爾曼質(zhì)數(shù)?！?p>　　“索菲·熱爾曼證明了費馬最后定理對于這類質(zhì)數(shù)為真。且若x，y，z均為整數(shù)，在xp + yp = zp這式子內(nèi)，必有一項能被p整除?！?p>　　“但是這個素數(shù)也是存在著問題，那就是到底是否存在無限個熱爾曼素數(shù)？若是不存在無限個素數(shù)的話，那么是不是剛開始的證明就出現(xiàn)問題了？”

　　蘇陌指著書本上面的熱爾曼素數(shù)繼續(xù)開口道。

　　“這個證明其實有點意思，最開始是一個比較大的證明題，但是在求證的過程中，出現(xiàn)了一個小證明題，偏偏這個小證明題還不能夠得到證明，從而就仿佛像是套娃一樣，能夠無限地循環(huán)下去！”

　　“但是這個熱爾曼的素數(shù)永遠不會以7的個位數(shù)！”

　　“反證法：假設(shè)存在個位數(shù)為7的質(zhì)數(shù)p，將它表達成p=10k+7。根據(jù)索菲熱爾曼質(zhì)數(shù)的性質(zhì)，2p + 1亦是質(zhì)數(shù)，但2p + 1 = 2(10k +7)+ 1 = 20k + 15 = 5(4k + 3)，2p + 1能被5整除，是合成數(shù)，矛盾?！?p>　　“從這個里面我們能夠判斷出來，整個素數(shù)是不完全的，所以這么推導(dǎo)下去的話，這里面還蘊含著不少其他的東西，至少我們現(xiàn)在是沒有搞清楚的！”

　　蘇陌看著這個熱爾曼素數(shù)的問題，然后又想到了什么。

　　“若p > 3，且p為索菲熱爾曼質(zhì)數(shù)，2p+1是梅森數(shù)Mp的因子?！?p>　　“其實整個素數(shù)的證明還是不完備的，這里面還誕生出了不少其他的東西，例如坎寧安鏈等問題，數(shù)列{p， 2p + 1， 2(2p + 1)+ 1，...}的索非熱爾曼質(zhì)數(shù)稱為第一類坎寧安鏈。除了首尾之外，這個數(shù)列中的項均同時為索非熱爾曼質(zhì)數(shù)和安全質(zhì)數(shù)?！?p>　　蘇陌看到這里的時候，也是稍微皺了下眉頭，然后開口道。

　　“當(dāng)有解存在時，x、y或z中必有一個是n 的倍數(shù)。熱爾曼的方法被證明是有效的，按照她的方法，數(shù)學(xué)家陸續(xù)證明出了n=5以及n=7的情況?！?p>　　“但是這兩個問題，很快就被庫默爾的科學(xué)家，直接指出他們兩個人的證明中存在著漏洞，導(dǎo)致前面的兩個的科學(xué)家都是直接宣布失??！”

　　蘇陌在這里介紹的時候，旁邊的楊濟一直都是在頻頻點頭，然后說出了直接梳理的內(nèi)容。

　　1753年瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉，在寫給哥德巴赫的信中說，他證明了n=3時的費馬猜想，1770年其證明發(fā)表在《代數(shù)指南》一書中，方法是“無限下降法”和形如數(shù)系的唯一因子分解定理，這一方法也被后人多次引用。

　　1816年巴黎科學(xué)院把費馬猜想轉(zhuǎn)化簡化歸結(jié)為n是奇素數(shù)的情況，認為費馬猜想應(yīng)該成立，并稱之為費馬大定理（以區(qū)別費馬關(guān)于同余的小定理），并為證明者設(shè)立大獎和獎?wù)?，費馬大定理之謎從此進一步風(fēng)靡全球。

　　費馬自己證明了n=4的情形。

　　十九世紀(jì)初法國自學(xué)成才的女?dāng)?shù)學(xué)家熱爾曼證明了當(dāng)n和2n+1都是素數(shù)時費馬大定理的反例x，y，z至少有一個是n整倍數(shù)。在此基礎(chǔ)上，1825年德國數(shù)學(xué)家狄利克雷和法國數(shù)學(xué)家勒讓德分別獨立證明費馬大定理在n=5時成立，用的是歐拉所用方法的延伸，但避開了唯一因子分解定理。

　　1839年，法國數(shù)學(xué)家拉梅對熱爾曼方法作了進一步改進，并證明了n=7的情形，他的證明使用了跟7本身結(jié)合得很緊密的巧妙工具，只是難以推廣到n=11的情形；于是，他又在1847年提出了“分圓整數(shù)”法來證明，但沒有成功。

　　1844年，庫默爾提出了“理想數(shù)”概念，他證明了：對于所有小于100的素指數(shù)n，費馬大定理成立，此一研究告一階段。但對一般情況，在猜想提出的頭二百年內(nèi)數(shù)學(xué)家們?nèi)詫M馬大定理一籌莫展。

　　1847年，巴黎科學(xué)院上演戲劇性一幕，當(dāng)時著名數(shù)學(xué)家拉梅和柯西先后宣布自己基本證明費馬大定理，拉梅還聲稱證明引用了劉維爾復(fù)數(shù)系中的唯一因子分解定理，劉維爾則說這一定理源自歐拉和高斯的思想。

　　大數(shù)學(xué)家都被扯入其中，似乎結(jié)論十分可靠。就在此時劉維爾宣讀了德國數(shù)學(xué)家?guī)炷瑺柕膩硇牛鞔_指出證明中的復(fù)數(shù)系的唯一因子分解定理并不普遍成立，于是拉梅和柯西的證明都是錯的。

　　大約在1850年前后，高斯的學(xué)生、德國數(shù)學(xué)家?guī)炷瑺柨吹轿ㄒ灰蜃臃纸馐欠癯闪⑹菤W拉、熱爾曼創(chuàng)立的試圖證明費馬大定理的方法關(guān)鍵，于是他創(chuàng)立了一種“理想數(shù)環(huán)”理論，據(jù)說這一思想也受其老師高斯啟發(fā)，高斯表面上聲稱對費馬大定理不感興趣，實際上對n=7久思不解。

　　學(xué)生庫默爾運用獨創(chuàng)的“理想素數(shù)”理論，一下子證明了100以內(nèi)除37、59、67以外的所有奇數(shù)費馬大定理都成立，使證明問題取得了第一次重大突破。

　　庫默爾之后近半個世紀(jì)，費馬大定理證明都停滯不前，直到二十世紀(jì)前期大數(shù)學(xué)家勒貝格向巴黎科學(xué)院提交了一個費馬大定理的證明論稿，由于勒貝格當(dāng)時的權(quán)威聲望，大家都以為這下問題解決了，但經(jīng)過廣泛傳閱其證明稿件，人們遺憾地發(fā)現(xiàn)大數(shù)學(xué)家的分析證明還是錯的。

　　楊濟老先生梳理整個費馬大定理的證明流程。

　　梳理前人的研究這個點，也是非常重要的，這樣你可以知道前人在證明過程中的思想路徑，他們到底是怎么進行下一步的計算，又是怎么得到最后的結(jié)果！