4 首播（3）

　　范玨打開一看，是一道很經(jīng)典的幾何題：如圖，三角形ABC中，AB=AC，E在AB上，D在AC上，∠BAC=20°，∠DBC=60°，∠ECB=50°，求∠EDB。貼吧經(jīng)常有人拿這道題來釣魚，為了裝B，他鏈接上了一個(gè)手寫板，開始做題。

　　“給你提供8種方法啊，這道題曾經(jīng)被大師彭翕成專門寫文章分析過，很有意思的一道題。我抽的這本書里好像有，但是我忘掉在那一頁了，憑借記憶我來復(fù)述一下啊?！?p>　　范玨首先畫上了一個(gè)三角形，把點(diǎn)標(biāo)明白，把條件標(biāo)在圖上。邊說邊寫，“解法1，直接利用正弦定理，我們得先找到一些關(guān)系，角BAC是20度，那么角ABC就是80度，角ECB和角BCE都是50度，也就是說BC=BE。”

　　范玨用紅線描出BC和BE。

　　“然后我們就利用正弦定理，設(shè)角EDB=x啊，sin(160-x)/sin(x)=BD/BE=BD/BD=sin80/sin40，式子列出來了，一個(gè)等式一個(gè)未知數(shù)，解得x=30，旁邊寫個(gè)草稿給你們看看30是怎么解出來的?！?p>　　在第一種解法旁邊，范玨劃拉出一個(gè)小地方，寫上過程，sin(20+x)=2cos40sinx，然后往下推導(dǎo)，sin20cosx+cos20sinx=2(cos60cos20+sin60sin20)sinx，cos20sinx項(xiàng)抵消，剩下sin20cosx=2sin20sin60sinx，約掉sin20，剩下tanx=3^(-1/2)，x=30。

　　“第二個(gè)方法是沿D做一條BC的平行線，交AB于F，連接FC，交BD于G，再連接GE。構(gòu)造出三個(gè)等邊三角形?！?p>　　范玨描出第一個(gè)等邊三角形。

　　“非常顯然，三角形BCG是一個(gè)等腰三角形，然后角DBC是60度，所以三角形BCG是一個(gè)等邊三角形，就有BE=BC=EG。”

　　范玨描出第二個(gè)等邊三角形。

　　“三角形BFG是個(gè)等腰三角形，可以得知角EFG是150度?！?p>　　“同時(shí)，三角形BCE是個(gè)等腰三角形，我們可以得出角CFE是15度，也就是說三角形EFG等腰，EF=EG。”

　　“三角形BCG等邊，三角形DFG和他相似”

　　第三個(gè)等邊三角形。

　　“所以有DF=DG，四邊形DFEG是箏形，DE平分角FDG，得出角EDB=1/2角FDB=30度?！?p>　　“第三個(gè)方法是沿D做一條BC的平行線，交AB于F，連接FC，交BD于G，再過B做AC的平行線交DF于H，連接EH。構(gòu)造平行四邊形”

　　范玨把輔助線用虛線連上，再用藍(lán)色筆勾勒出了大平行四邊形。再用紅筆點(diǎn)出了E點(diǎn)，分別把它和三個(gè)角的連線用綠色筆強(qiáng)調(diào)。

　　“里面的構(gòu)造和第二問是差不多的，我們可以直接用第二問的結(jié)論，BE=BC=BG，BH=CD，角EBD=80-60=20度，角EBH=角BDC-角EBD=20度，BE平分角HBD，由角邊角，三角形HEB全等于三角形DGC?！?p>　　“角BHE=角GDC=40度，角BHD=角DBC=80度，HE平分角BHD，所以得出E點(diǎn)是三角形BDH的內(nèi)心，也就是三條角平分線的交點(diǎn)，ED平分角FDG，角EDB=30度。”

　　“第四個(gè)方法是在AC上取點(diǎn)K使得角KBC=20度。連接BK，EK。構(gòu)建出一堆等腰，這個(gè)方法可以說是神來之筆，既簡(jiǎn)潔又簡(jiǎn)單?！?p>　　“三角形ABC相似于三角形BCK，兩個(gè)都是等腰三角形，BC=BK=BE，角EBK=角EBC-角KBC=60度，三角形BEK為等邊三角形?！?p>　　“這時(shí)候邊的關(guān)系我們差不多已經(jīng)梳理完了，把角標(biāo)上就可以做出來了。”

　　“那么角EKD=40度，角BDC=180-60-80=40度，角DBK=80-20-20=40度，BK=DK，三角形DKE是等腰三角形，角EDK=(180-40)/2=70度，角EDB=角EDK-角BDK=70-40=30度?！?p>　　“下面的東西就難一點(diǎn)了，要用到數(shù)學(xué)競(jìng)賽的想法，我高中時(shí)候是搞計(jì)算機(jī)競(jìng)賽的，數(shù)競(jìng)的東西了解得不多?！?p>　　“第五個(gè)方法是做E關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)H，連接DH，BH，CH?！?p>　　“角DCE=80-50=30度，對(duì)稱過去之后，EC=CH，角ECD=角DCH=30度，角ECH=60度，也就是說三角形ECH為等邊三角形?！?p>　　“EH=CH，又有BE=BC，四邊形BDHE是箏形，BH平分角EHC，則有角DBH=角EBH-角EBD=80/2-20=20度，角DBE=角DBH，B，E，D，H四點(diǎn)共圓?！?p>　　范玨描摹出一個(gè)圓弧。

　　“所以角EDB=角EHB=60/2=30度?！?p>　　“第六個(gè)方法是做角EBC的角平分線交AC于T，連接ET。”

　　“這個(gè)方法比剛才的方法還要抽象一點(diǎn)，主要想法是構(gòu)造旁心?！?p>　　“角EBT=80/2=40度，角EBD=20度，那么有BD平分角EBT，由于BE=BC，邊角邊，三角形EBT全等于三角形CBT，角ETB=角BTC=180-40-80=60度，角ETD=80度，那么延長(zhǎng)一下就可以知道DT是角ETB的外角平分線，所以說D是三角形BET的旁心?！?p>　　范玨描出外角平分線的小圓。

　　“ED平分角AET，角AED=1/2*(180-80)=50度，角EDB=50-20=30度?！?p>　　“旁心用了之后，我們自然可以想到用外心，但是這個(gè)方法比較極限比較勉強(qiáng)。”

　　“第七個(gè)方法是找出三角形CDE的外心O，連接OE，OD，OB?！?p>　　“由外心的性質(zhì)有OE=OD，由于角ECD=30度，角EOD=60度，三角形OED是等邊三角形，OE=OD=ED。”

　　“下面一步比較玄乎，懂得自然懂，不懂的自己刷6?！?p>　　“D在OE中垂線上，BD平分角EOB，如果B不在EO中垂線上，那么EOBD四點(diǎn)共圓，但是角EBO+角EDO=40+60!=180，也就是說這4點(diǎn)不共圓，也就是說B在OE的中垂線上，所以BD就是OE的中垂線，BD平分角ODE，角EDB=1/2角ODE=30度。”

　　“最后一個(gè)方法想的是往外擴(kuò)展，輔助線比較大氣，也比較漂亮，看得也舒服?！?p>　　“第八個(gè)方法是作C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)F，B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)G，連接三角形AFG，連接EF，DG。構(gòu)造一個(gè)大等邊三角形。”

　　“由于對(duì)稱的性質(zhì)，AB=AC=AF=AG，然后角FAG=3*角BAC=60度，三角形AFG是等邊三角形。”

　　“然后我們來想辦法證明DEF三點(diǎn)共線。首先，角BFG=角AFB-角AFG=80-60=20度，角EFG=角EFB-角BFG=50-20=30度，即EF平分角AFG。然后再由對(duì)稱的性質(zhì)，DG=DB=DA，由等邊三角形的性質(zhì)可知D也在角AFG的中垂線上，那么我們就得到了FED三點(diǎn)共線，角EDB=角FEB-角EBD=角FAE+角AFD-角EBD=20+30-20=30度。”

　　“完了兄弟們，講了道題貴賓跑了一半，一看時(shí)間一個(gè)小時(shí)已經(jīng)過去了，下次不講了兄弟們。”范玨停筆，拿起水杯。

　　“別”“就講這個(gè)大家愛看”“再來一節(jié)課的”“666666”彈幕都表現(xiàn)出了極高的學(xué)習(xí)熱情。

　　中獎(jiǎng)的兄弟刷了一個(gè)告白燈牌上面寫著“NB”。

　　“謝謝兄弟的告白燈牌……這樣吧，這本書還是寄給你，這道題算我數(shù)學(xué)SOLO贏你怎么說，之前定的是SOLO贏我得500，現(xiàn)在只剩一個(gè)小時(shí)了。這樣吧，想打SOLO的加我游戲好友，我拿元歌你隨便，地圖你挑，你贏了我給你1000，我贏了你給我送個(gè)6塊錢的血瓶怎么說，我按照段位高低選，優(yōu)先選厲害的?！?