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一部三冊(cè)的小說(shuō)，任意排放在書(shū)架的同一層上，則各冊(cè)自左到右或自右到左恰好為第一，二，三冊(cè)的概率為？

一部三冊(cè)的小說(shuō)，任意排放在書(shū)架的同一層上，則各冊(cè)自左到右或自右到左恰好為第一，二，三冊(cè)的概率為？

2023年09月03日 04:03

1個(gè)回答

假設(shè)這部小說(shuō)可以被排成 $n$ 冊(cè)那么每?jī)?cè)的位置可以表示為 $(i_1 i_2 i_3)$其中 $1 \le i_1 \le n$$1 \le i_2 \le n$$1 \le i_3 \le n$。
我們考慮將該小說(shuō)排放在書(shū)架上的情況一共有 $C_n$ 種可能的排放方式。對(duì)于任意一種排放方式第一冊(cè)的位置可以是 $(1 1 \dots 1)$第二冊(cè)的位置可以是 $(i_1 i_2 \dots i_1)$第三冊(cè)的位置可以是 $(i_2 i_3 \dots i_2)$。 對(duì)于任意一個(gè)可能的排放方式各冊(cè)自左到右或自右到左恰好為第一二三冊(cè)的概率分別為 $\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n}$。 因此總的概率為: $$ \begin{aligned} P &= \sum_{n=3}^4 \sum_{C_n=C_n(n)} \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n} \\ &= \sum_{n=3}^4 \frac{1}{n^3} \\ &= \sum_{n=3}^4 \frac{1}{n^2} \cdot \frac{1}{n} \\ &= \sum_{n=3}^4 \frac{1}{n} \\ &= 1 \end{aligned} $$ 因此這部小說(shuō)任意排放在書(shū)架的同一層上各冊(cè)自左到右或自右到左恰好為第一二三冊(cè)的概率為 1。
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