第八十七章 費(fèi)馬多邊形數(shù)定理

　　費(fèi)馬跟梅森說(shuō)：“我又發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的東西？”

　　梅森習(xí)以為常的說(shuō)：“我知道，你一直在發(fā)現(xiàn)很多東西?！?p>　　費(fèi)馬說(shuō)：“我發(fā)現(xiàn)一個(gè)多邊形數(shù)?！?p>　　梅森說(shuō)：“那先解釋什么是多邊形數(shù)？”

　　費(fèi)馬說(shuō)：“一個(gè)圓點(diǎn)只有一個(gè)點(diǎn)，所以多邊形數(shù)為一。一個(gè)三角形數(shù)需要在這個(gè)點(diǎn)外伸出兩個(gè)點(diǎn)，所以為多邊形數(shù)為3，如果再往外延伸，需要再加三個(gè)點(diǎn)，得到六個(gè)點(diǎn)，多邊形數(shù)為六。”

　　一面說(shuō)，費(fèi)馬一面畫(huà)出三角形數(shù)的圖形。

　　梅森說(shuō)：“為什么是這樣的？你規(guī)定了什么？”

　　費(fèi)馬說(shuō)：“這個(gè)多邊形為三角形的時(shí)候，點(diǎn)與點(diǎn)直接距離相等。”

　　梅森說(shuō)：“然后為10，再然后為15等等?！?p>　　費(fèi)馬說(shuō)：“正確。”

　　不一會(huì)兒兩個(gè)人還是畫(huà)出四邊形、五邊形、六邊形的數(shù)分別都是：

　　四邊形數(shù)為1、4、9、16、25等

　　五邊形數(shù)為1、5、12、22、35等

　　六邊形數(shù)為1、6、15、28、45等

　　梅森說(shuō)：“你這樣要做什么？”

　　費(fèi)馬說(shuō)：“每一個(gè)正整數(shù)都可以表示為最多n個(gè)n邊形數(shù)的和。每一個(gè)正整數(shù)一定可以表示為不超過(guò)三個(gè)的三角形數(shù)之和、不超過(guò)四個(gè)的平方數(shù)之和、不超過(guò)五個(gè)的五邊形數(shù)之和，依此類推?！?p>　　梅森說(shuō)：“原來(lái)你還在研究平方數(shù)和的一些規(guī)律呀！”

　　費(fèi)馬說(shuō)：“沒(méi)錯(cuò)?！?p>　　梅森說(shuō)：“你打個(gè)比方，我聽(tīng)聽(tīng)。”

　　費(fèi)馬說(shuō)：“兩個(gè)個(gè)三角形數(shù)的例子，例如17 = 10 + 6 + 1，4=1+3。一個(gè)眾所周知的特例，是四平方和定理，它說(shuō)明每一個(gè)正整數(shù)都可以表示為最多四個(gè)平方數(shù)之和，例如7 = 4 + 1 + 1 + 1?！?p>　　梅森說(shuō)：“你證明了嗎？”

　　費(fèi)馬說(shuō)：“證明的事情恐怕要交給后人了?！?p>　　拉格朗日在1770年證明了平方數(shù)的情況，高斯在1796年證明了三角形數(shù)的情況，但直到1813年，柯西才證明了一般的情況。