第八十八章 費(fèi)馬和帕斯卡的信件

　　1654年，費(fèi)馬和帕斯卡在夏季交換的五封信里得出賭博和概率的規(guī)律。

　　十七世紀(jì)歐洲的貴族盛行賭博之風(fēng)，法國有一位叫德·梅雷的貴族，在擲骰子的游戲之余，也思考一點(diǎn)相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，苦思不得其解。1654年，他向帕斯卡請教了一個親身經(jīng)歷的“分賭注問題”。

　　德·梅雷對帕斯卡說：“故事大概如此：梅雷和賭友各自出32枚金幣，共64枚金幣作為賭注，雙方以擲骰子為賭博方式：如果結(jié)果出現(xiàn)“6”，則梅雷贏1分；如果結(jié)果出現(xiàn)“4”，則對方贏1分。雙方誰先得到10分，誰就贏得全部賭注。賭博如此進(jìn)行了一段時間，梅雷已得8分，對方也得了7分。但這時，梅雷接到緊急命令，要立即陪國王接見外賓，只好中斷賭博。那么問題就來了：這64枚金幣的賭注應(yīng)該如何分配才合理呢？”

　　這個問題實際上在十五、十六世紀(jì)時就已經(jīng)被提出，稱之為“點(diǎn)數(shù)分配問題”。意思是說，當(dāng)一場賭博半途中斷的情況下，應(yīng)該如何分配賭注？人們提出各種方案，但未曾得到公認(rèn)的合理答案。

　　帕斯卡一開始沒注意，只是說：“賭注的問題也找我，將賭注原數(shù)退回不就行了？”

　　梅雷說：“將賭注原數(shù)退回顯然不合理，沒有考慮賭博中斷時的輸贏情況，相當(dāng)于白賭了一場；將全部賭注歸于當(dāng)時的贏家也不公平，比如當(dāng)時：梅雷比對方多得一分，但他還差2分才贏，而對方差3分，如果繼續(xù)賭下去的話，對方也有贏的可能性?！?p>　　帕斯卡本人不好賭，對于賭博人執(zhí)著的要賭后結(jié)果的事情也方案。但是自己卻好奇集中數(shù)學(xué)的東西，如果一切嚴(yán)格按照賭的規(guī)矩，會是什么結(jié)果。

　　帕斯卡來了興趣，分析的說：“上述兩種方案顯然都不合理，賭博中斷時的梅雷應(yīng)該多得一些，但究竟應(yīng)該如何分配呢？”

　　梅雷說：“有人商量我們兩人比分的比例來計算：梅雷8分，對方7分，那么梅雷得全部賭注的8/15，對方得7/15。”

　　帕斯卡說：“這種分法也有問題，比如說，如果甲乙雙方只賭了一局就中斷了，甲贏得1分，乙得0分。按此分法，甲將拿走全部賭注，顯然也是不合理的?！?p>　　雷梅點(diǎn)頭稱是。

　　帕斯卡直覺地意識到，中斷賭博時賭注的分配比例應(yīng)與當(dāng)時的輸贏狀態(tài)與雙方約定的最終判據(jù)之距離有關(guān)。比如說，梅雷已經(jīng)得了8分，距離10分的判據(jù)差2分，賭友7分，還差3分到10分。因此，帕斯卡認(rèn)為需要研究從中斷賭博那個“點(diǎn)”開始，如果繼續(xù)賭博的各種可能性。

　　為了盡快地解決這個問題，帕斯卡以通信的方式與住在法國南部的費(fèi)馬討論。

　　梅雷原來的問題是擲骰子賭“6點(diǎn)”或“4點(diǎn)”的問題，但可以簡化成拋硬幣的問題：甲乙兩人拋硬幣，甲賭“正”，乙賭“反”，贏家得1分，各下賭注$10，先到達(dá)10分者獲取所有賭注。如果賭博在“甲8分、乙7分”時中斷，問應(yīng)該如何分配這$20賭注？

　　費(fèi)馬回信的分析：“從賭博的中斷點(diǎn)出發(fā)，還至多需要拋4次硬幣來決定甲乙最后的輸贏?！?p>　　帕斯卡看信：“這4次隨機(jī)拋丟或產(chǎn)生16種等概率的可能結(jié)果，因為“甲贏”需要結(jié)果中出現(xiàn)2次“正”，“乙贏”需要結(jié)果中出現(xiàn)3次“反”，所以，在16種結(jié)果中，有11種是“甲贏”，5種是“乙贏”。換言之，如果賭博沒有中斷，而是從中斷點(diǎn)的狀態(tài)繼續(xù)到底的話，可以如此算出甲贏的概率是11/16，乙贏的概率是5/16。賭博的中斷使得雙方按照這種比例失去了最后贏得全部賭注的機(jī)會，但按此比例來分配賭注應(yīng)該是合理的方法。所以，根據(jù)費(fèi)馬的分析思路，甲方應(yīng)該得$20×11/16=$13.75，乙方則得剩余的，或$20×5/16=$6.25?！?p>　　帕斯卡十分贊賞費(fèi)馬思路之清晰，費(fèi)馬所得的結(jié)果也驗證了帕斯卡自己得到的結(jié)論，雖然他用的是完全不一樣的方法。

　　帕斯卡給費(fèi)馬寫信也討論了自己的結(jié)果：“解決這個問題的過程中提出了離散隨機(jī)變量“期望值”的概念。期望值是用概率加權(quán)后得到的“期望”的平均值。帕斯卡計算出從甲方的觀點(diǎn)，“期望”能得到的賭注分配為$13.75，與費(fèi)馬計算的結(jié)果一致。”

　　期望是概率論中的重要概念，期望值則是概率分布的重要特征之一。它常被用在與賭博相關(guān)的計算中。例如，賭場輪盤上有38個數(shù)字，每一個數(shù)字被選中的概率都是1/38。賭注（比如$1）押在其中一個數(shù)字上，如果押中，顧客得到35倍的獎金（$35），否則賭注被賭場所得。藉此，我們可以計算顧客“贏”的期望值。

　　從研究擲骰子開始，帕斯卡不僅僅引入了期望的概念，還發(fā)現(xiàn)了帕斯卡三角形（即楊輝三角），雖然楊輝早于帕斯卡好幾百年，但是帕斯卡將此三角形與概率、期望、二項式定理、組合公式等等聯(lián)系在一起，與費(fèi)馬一起為現(xiàn)代概率理論奠定了基礎(chǔ)，對數(shù)學(xué)作出了不凡的貢獻(xiàn)。1657年，荷蘭科學(xué)家惠更斯在帕斯卡和費(fèi)馬工作的基礎(chǔ)上，寫成了《論賭博中的計算》一書，被認(rèn)為是關(guān)于概率論的最早的系統(tǒng)論著，但人們?nèi)匀粚⒏怕收摰恼Q生日定為帕斯卡和費(fèi)馬開始通信的那一天——1654年7月29日。