第一百六十八章 勒讓德函數(shù)的多項(xiàng)式(微積分)
勒讓德教授貝塞爾二階微分方程相關(guān)知識(shí)。
貝塞爾說(shuō):“你這個(gè)多項(xiàng)式是從哪里來(lái)的?”
勒讓德說(shuō):“從勒讓德方程推導(dǎo)出來(lái)的?!?p> 貝塞爾說(shuō):“勒讓德方程是從哪里來(lái)的?”
勒讓德說(shuō):“從連帶勒讓德方程得到的,這個(gè)方程在m值為0,也就是在軸對(duì)稱情況下得到的。在球函數(shù)方程分離變量時(shí),可出現(xiàn)連帶勒讓德方程?!?p> 貝塞爾說(shuō):“連帶勒讓德方程又是什么東西?”
勒讓德說(shuō):“連帶勒讓德方程是一個(gè)二階常微分方程?!?p> 貝塞爾說(shuō):“二階常微分方程是這個(gè)樣子嗎?”
貝塞爾說(shuō)著,寫出了方程:y''+py'+qy=0。
勒讓德說(shuō):“這是齊次的的二階常系數(shù)線性微分方程?!?p> 勒讓德寫了方程y''+py'+qy=f(x),這個(gè)是二階常系數(shù)線性微分方程,對(duì)貝塞爾說(shuō):“還必須是其中 y1和y2的比值為常數(shù)才可以,如果不是常數(shù),就是非齊次的?!?p> 貝塞爾說(shuō):“你是研究這些方程解法的吧?一般有哪些方法?”
勒讓德說(shuō):“有待定系數(shù)法、多項(xiàng)式法、常數(shù)變易法和微分算子法等?!?p> 貝塞爾說(shuō):“二階常系數(shù)線性微分方程如何解呢?”
勒讓德說(shuō):“先寫出特征方程?!?p> 勒讓德寫出了y''+py'+qy=0的特征方程r^2+pr+q=0。
然后寫出特征方程的解后,然后寫出三種條件下的通解:
1.兩個(gè)不相等的實(shí)根:y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)
2.兩根相等的實(shí)根:y=(C1+C2x)e^(r1x)
3.一對(duì)共軛復(fù)根:r1=α+iβ,r2=α-iβ:y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)
貝塞爾說(shuō):“那如何得到非齊次的解?”
勒讓德說(shuō):“通解等于非齊次方程特解加齊次方程通解。”
貝塞爾說(shuō):“這個(gè)有什么用嗎?”
勒讓德說(shuō):“在工程技術(shù)及力學(xué)和物理學(xué)中都有十分廣泛的應(yīng)用。”