第一百八十八章 狄利克雷函數(shù)（反常積分）

　　狄利克雷對勒讓德說：“我發(fā)現(xiàn)了一種在實數(shù)范圍內(nèi)，值域不連續(xù)的函數(shù)。”

　　狄利克雷寫出這個狄利克雷函數(shù)，勒讓德看到這個函數(shù)有兩個項求極限，一個是πx前的階乘k!求極限，一個是k!πx上的2j中的j求極限。K求極限是在余弦函數(shù)之外的。

　　勒讓德說：“這個函數(shù)處處不連續(xù)，那是不是都畫不出來？”

　　狄利克雷說：“沒錯這個函數(shù)圖像畫不出，但是客觀存在，還是個偶函數(shù)，值域是從0到1?！?p>　　勒讓德說：“我看這樣的函數(shù)恐怕連周期都沒有？”

　　狄利克雷說：“以任意正有理數(shù)為其周期，無最小正周期。”

　　勒讓德說：“我終于知道了，這個函數(shù)處處不連續(xù)，所以處處不可求導(dǎo)，所以也處處不可以積分，與x所包的面積大小也是一個謎?！?p>　　狄利克雷說：“沒錯，以現(xiàn)有的微積分只是，沒辦法積分?！?p>　　勒讓德說：“但是目測也可以得到大小?！?p>　　狄利克雷說：“那只是知道個大概，沒辦法對此精確計算的?！?p>　　后來一個叫勒貝格的人改變了原有的黎曼積分方式，從豎形積分變成橫向積分，解決了這一問題。在單位區(qū)間[0，1]上勒貝格可積，且勒貝格積分值為0（且任意區(qū)間以及R上甚至任何R的可測子集上（區(qū)間不論開閉和是否有限）上的勒貝格積分值為0 ）