第一百八十九章 狄利克雷邊界條件問題（變分法）

　　狄利克雷對(duì)泊松說：“加入一個(gè)巨大的鐵板，鐵板一個(gè)部分的溫度已經(jīng)固定，那么溫度會(huì)傳導(dǎo)擴(kuò)散到鐵板的四面八方。最后會(huì)穩(wěn)定在一個(gè)值內(nèi)，不會(huì)在發(fā)生任何改變。如何去求各個(gè)地方的溫度呢？”

　　泊松說：“這種熱力的傳導(dǎo)是復(fù)合偏微分方程的，所以確定熱力的偏微分的分布情況即可?！?p>　　狄利克雷說：“問題就有意思在這里，這個(gè)形狀有關(guān)系。如果這個(gè)鐵片長度不同，那么熱的分布也會(huì)不太一樣，如果鐵片較短，那么邊緣處會(huì)稍微熱一點(diǎn)點(diǎn)，如果鐵片較遠(yuǎn)，那么邊緣處會(huì)相對(duì)冷一些。如果鐵片的長度為無限遠(yuǎn)，在無限遠(yuǎn)處會(huì)接近為最低的溫度?！?p>　　泊松補(bǔ)充道：“接近為常溫?！?p>　　狄利克雷說：“同時(shí)在機(jī)械工程和土木工程的梁理論中，梁的一端保持在空間中的固定位置。在靜電中，電路的節(jié)點(diǎn)保持固定電壓。在流體動(dòng)力學(xué)中，粘性流體的防滑條件表明，在固體邊界處，流體相對(duì)于邊界具有零速度。也屬于這類問題。”

　　在數(shù)學(xué)中，狄利克雷邊界條件，為常微分方程的“第一類邊界條件”，指定微分方程的解在邊界處的值。也叫本質(zhì)邊界條件。求出這樣的方程的解的問題被稱為狄利克雷問題。

　　狄利克雷問題亦稱第一邊值問題，是調(diào)和函數(shù)的一類重要邊值問題。

　　第一類邊界條件，是指在熱力學(xué)中，第一類邊界條件的表述為：“將大平板看成一維問題處理時(shí)，平板一側(cè)溫度恒定?！?p>　　此后，延伸出了第二類和第三類邊界條件表述。

　　第二類邊界條件即諾依曼邊界條件，給出了在邊界處解對(duì)指定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)。例如，泊松方程中的浮動(dòng)邊界條件，電勢(shì)可以浮動(dòng)，電場(chǎng)為零。在熱力學(xué)中，第二類邊界條件的表述為：“將大平板看成一維問題處理時(shí)，平板一側(cè)熱流密度一定。”半無限大物體在導(dǎo)熱方向上，當(dāng)其一側(cè)熱流密度一定。數(shù)學(xué)描述為：q(0，t)= 定值。

　　第三類邊界條件的表述為：“將大平板看成一維問題處理時(shí)，平板一側(cè)換熱系數(shù)一定，換熱流體的溫度一定?！卑霟o限大物體在導(dǎo)熱方向上，當(dāng)其一側(cè)邊換熱系數(shù)一定，換熱流體的溫度一定。數(shù)學(xué)描述為：h(0，t)= 定值， tf=0。