第一百九十九章 李普希茨連續(xù)映射（微分幾何）

　　李普希茨是德國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。主要研究數(shù)學(xué)分析、數(shù)論、微分方程、多維幾何、力學(xué)和物理。

　　1859年，他發(fā)表了關(guān)于借助線積分給出貝塞爾函數(shù)的漸近展開式的嚴(yán)格研究。

　　1864年，在研究傅立葉級(jí)數(shù)收斂性時(shí)，給出了以他的姓命名的充分條件。

　　1876年，他改進(jìn)了柯西關(guān)于常微分方程存在定理的條件?，F(xiàn)在這一條件就被稱為李普希茨條件。他對(duì)n維空間的子空間給出了一些新的結(jié)果。

　　他還是微分不變量研究的創(chuàng)始人之一，在其工作中已出現(xiàn)了共變微分這種運(yùn)算。

　　狄利克雷對(duì)利普希茨抱有希望，利普希茨聽話，而且有才華。

　　如果讓他研究一種重要的細(xì)節(jié)，肯定是有戲的。

　　先讓利普希茨去研究關(guān)于函數(shù)映射的問題。

　　狄利克雷讓利普希茨開始研究連續(xù)映射的概念。

　　設(shè)X，Y為任意兩個(gè)集合，映射f：X→Y，對(duì)于x0∈X，有y0=f(x0)，如果對(duì)于y0的任意鄰域U(y0)，總能找到x0的鄰域U(x0)，使得f(U(x0))?U(y0)。則稱映射f在點(diǎn)x0是連續(xù)的。如果映射f在集合X的每一點(diǎn)都是連續(xù)的，則稱映射f為X上的連續(xù)映射。

　　奧托·赫爾德和普利希茨都開始研究除了三維坐標(biāo)系的連續(xù)性，還有什么樣的連續(xù)映射？

　　赫爾德說：“度量空間也是可以連續(xù)映射的。”

　　利普希茨說：“不是三維空間那種勾股定理的距離，而是單個(gè)變量的差值，就去代表距離?！?p>　　赫爾德說：“想要讓它變得合法化，是不是需要弄清它是不是連續(xù)映射的？”

　　利普希茨說：“起碼先要符合連續(xù)映射的條件，要不然，肯定不能這樣用?！?p>　　赫爾德說：“因變量的差值，是自變量差值的幾次方乘以一個(gè)常數(shù)?！?p>　　利普希茨說：“不需要這樣，只要一次方即可。”

　　后來α次方的赫爾德條件，也被稱為α階的利普希茨條件。

　　之后，弗雷歇開始在1910年考慮抽象空間的連續(xù)映射。

　　利普希茨連續(xù)的幾何意義是什么？怎么較好的理解它呢？

　　以陸地為例。

　　島嶼：不連續(xù)

　　一般陸地：連續(xù)

　　丘陵：李普希茲連續(xù)

　　懸崖：非李普希茲連續(xù)

　　山包：可導(dǎo)平原：線性

　　半島：非凸

　　想了半天用什么來表達(dá)亞連續(xù)（semi-continuity），好像只能用瀑布了。稍微具體點(diǎn)的話，李普希茲連續(xù)就是說，一塊地不僅沒有河流什么的玩意兒阻隔，而且這塊地上沒有特別陡的坡。其中最陡的地方有多陡呢？這就是所謂的李普希茲常數(shù)。懸崖的出現(xiàn)導(dǎo)致最陡的地方有“無窮陡”，所以不是李普希茲連續(xù)。

　　利普希茨連續(xù)不就是函數(shù)上任意兩點(diǎn)連線的斜率是有界的嗎？也就是斜率不能無窮大?？紤]f(x)=sqrt(x)這個(gè)函數(shù)雖然在(0，+無窮)上一致連續(xù)，但是兩點(diǎn)間斜率可以無限大，因此不是利普希茨連續(xù)。