第二百零二章 若爾當(dāng)-赫爾德定理（群論）

　　若爾當(dāng)與赫爾德開始一起研究群的東西。

　　若爾當(dāng)對(duì)赫爾德說：“很多人講不清楚群論的問題，其實(shí)我這里有個(gè)很好的解釋的角度?！?p>　　赫爾德說：“說說看，如何可以更容易理解？”

　　若爾當(dāng)說：“其實(shí)就是給各種各樣的對(duì)稱性分類。”

　　赫爾德說：“對(duì)稱性有幾類，有可以分的嗎？不就是點(diǎn)對(duì)稱和軸對(duì)稱。難道還有第三種？”

　　若爾當(dāng)笑說：“狹隘了吧，對(duì)稱分很多種呢?！?p>　　赫爾德說：“鼓弄玄虛那吧？所有的對(duì)稱性無非就是這兩種對(duì)稱的堆砌。”

　　若爾當(dāng)說：“還有一種輪換對(duì)稱性，就是我給你掃地，你給他掃地，他給我掃地。這也是一種對(duì)稱，是??！你沒有想過這個(gè)挺常見的問題嗎？”

　　赫爾德想了想，確實(shí)沒有不能用軸對(duì)稱和點(diǎn)對(duì)稱來表示這種輪換對(duì)稱。

　　赫爾德也覺得這種輪換對(duì)稱，也是一種對(duì)稱性，也有實(shí)際用途。

　　想了良久，對(duì)若爾當(dāng)說：“那對(duì)稱的基本定義是什么？是干什么用？需要用什么樣的數(shù)學(xué)符號(hào)嚴(yán)格規(guī)定？”

　　若爾當(dāng)苦笑：“我只是想到了輪換對(duì)稱性，但不知道對(duì)稱性到底該怎么弄?！?p>　　赫爾德繼續(xù)思索，感覺對(duì)稱性的最重要宗旨就是，不變性，最終沒有改變，或者是一個(gè)規(guī)則的限制內(nèi)，就是對(duì)稱。

　　赫爾德說：“不論是點(diǎn)對(duì)稱還是軸對(duì)稱，都是一種東西，經(jīng)過對(duì)稱變換之后，沒有脫離這一套東西。這一套東西，我們姑且叫做群。點(diǎn)對(duì)稱和軸對(duì)稱是一個(gè)東西變成這個(gè)東西的另外一個(gè)位置而已，東西本身沒有什么變化。而你說的輪換對(duì)稱性，它也是一種變換之后，又回到了自己，然后就是周期性的變化了?！?p>　　赫爾德沉浸在自己的思維里，而若爾當(dāng)說：“我們剛剛考慮的兩個(gè)和三個(gè)的對(duì)稱，那么四個(gè)輪換對(duì)稱，其實(shí)更加復(fù)雜，可能還會(huì)有一種內(nèi)在的對(duì)角線交叉結(jié)構(gòu)。”

　　赫爾德說：“以此類推的話，那這些對(duì)稱就是有兩種東西構(gòu)造的，一個(gè)是對(duì)象，一個(gè)是作用方式。我們只需要給一個(gè)作用方式即可。那么，按照你的那個(gè)方法，就會(huì)找到很多種對(duì)稱方式了，也就是找到了很多種群。這些群都具備循環(huán)不變的性質(zhì)，就叫循環(huán)群。但是我們知道了這些循環(huán)后，會(huì)發(fā)現(xiàn)他們不像數(shù)學(xué)那么簡(jiǎn)單?！?p>　　若爾當(dāng)說：“所以，我們需要對(duì)這些群分類?！?p>　　赫爾德說：“如何去分，才能達(dá)到真正的分類效果呢？”

　　若爾當(dāng)開始作圖，赫爾德也開始跟著作圖和寫數(shù)學(xué)符號(hào)。

　　之后若爾當(dāng)說：“找到其中的一些不變量，如果兩個(gè)循環(huán)群的這種不變量是相等的，就可以證明這兩個(gè)群是相等的，或者是這兩種對(duì)稱是相等的，不管這兩種對(duì)稱看起來都多不一樣?！?p>　　赫爾德說：“我找到了一種可以將復(fù)雜對(duì)稱性拆分的方式，如果拆分后那些不變量是相同的，就可以認(rèn)定這兩種對(duì)稱性相同?！?p>　　若爾當(dāng)說：“我剛剛看到一個(gè)12階長(zhǎng)的循環(huán)群，發(fā)現(xiàn)有1、2、6、12的拆分方式，也有1、2、4、12的拆分方式，也有1、3、6、12這樣的拆分方式，這種拆分就是前面是后面群的子群了。發(fā)現(xiàn)他們都是可以拆成4步。同時(shí)繼續(xù)讓后面對(duì)前面做商后，又稱為2、3、2和2、2、3和3、2、2等方式。這三組的商是相同的數(shù)字，只是順序不一樣罷了?！?p>　　赫爾德說：“照你這么說，若群或R模 M有合成列，則任兩個(gè)合成列都有相同長(zhǎng)度。合成因子的同構(gòu)類與合成列的選取無關(guān)，其間至多差一個(gè)置換?！?p>　　若爾當(dāng)-赫爾德定理，證明了每一滿足阿基米德性質(zhì)的全序群都同構(gòu)于實(shí)數(shù)的加法群的某一子群，200階以下簡(jiǎn)單群的分類，發(fā)現(xiàn)了對(duì)稱群S6的異常外自同構(gòu)。