第二百三十章 柯西—施瓦茨不等式（不等式）

　　拉普拉斯對(duì)柯西說(shuō)：“我看到你在研究不等式，說(shuō)實(shí)話(huà)，這不都是小兒科的問(wèn)題嗎？干嘛要花如此大的力氣去搞？給你經(jīng)費(fèi)，你就要開(kāi)始在這么簡(jiǎn)單的問(wèn)題上浪費(fèi)時(shí)間了？現(xiàn)在很多領(lǐng)導(dǎo)都在盯著你，你可注意一點(diǎn)?！?p>　　柯西明白，有時(shí)候自己承擔(dān)的事情越多，就越容易被人罵?，F(xiàn)在有很多地方存在這種現(xiàn)象：就是能力強(qiáng)，做事快的人，往往做得多、錯(cuò)得多，也被領(lǐng)導(dǎo)罵得多。相反，那些混日子，能力又不怎么樣的人，他們基本不做事，又不會(huì)被領(lǐng)導(dǎo)罵，最后提拔晉升還可能會(huì)成為黑馬。這種效應(yīng)叫做“洗碗效應(yīng)”，說(shuō)的就是說(shuō)經(jīng)常洗碗的人常會(huì)失手將碗打破，自責(zé)之余，周?chē)娜丝赡苓€嚴(yán)厲指責(zé)：“怎么這么不小心，洗碗都洗不好，還能干好什么活呢？”。

　　柯西經(jīng)過(guò)這么久，也放平了，他知道自己研究的這個(gè)看似簡(jiǎn)單的東西，實(shí)則是為了更深的東西打基礎(chǔ)?？挛髡f(shuō)：“并不是逃避難題研究簡(jiǎn)單題。而是遇上難題中的某一部分?！?p>　　拉普拉斯說(shuō)：“就像不等式，這就是個(gè)計(jì)算公式，你哪里看出有還很多驚人的東西？”

　　拉普拉斯說(shuō)的是柯西不等式。是柯西發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)分析中的流數(shù)中發(fā)現(xiàn)了一種不等式：（a^2+b^2）(c^2+d^2)<=(ac+bd)^2。

　　柯西說(shuō)：“我好好跟你說(shuō)說(shuō)，這不僅僅是個(gè)不等式，它其實(shí)在數(shù)學(xué)的多個(gè)領(lǐng)域都有極大的作用。”

　　拉普拉斯說(shuō)：“它能讓你發(fā)現(xiàn)更多個(gè)不等式？”

　　柯西說(shuō)：“不是的，是這個(gè)不等式可以反應(yīng)出很多問(wèn)題。可以推廣成更多的卡爾松不等式。還可以推廣成向量形式，三角形式，概率論形式，積分形式，一般形式。后來(lái)則推廣成復(fù)變函數(shù)。所以一個(gè)簡(jiǎn)單的不等式，也會(huì)有很多數(shù)學(xué)的其他作用，甚至?xí)h(yuǎn)遠(yuǎn)超出自己的想象。”

　　拉普拉斯也漸漸的理解了柯西的海量論文的原因。

　　柯西-施瓦茨不等式是一個(gè)在眾多背景下都有應(yīng)用的不等式，例如線(xiàn)性代數(shù)，數(shù)學(xué)分析，概率論，向量代數(shù)以及其他許多領(lǐng)域。它被認(rèn)為是數(shù)學(xué)中最重要的不等式之一。此不等式最初于1821年被柯西提出，其積分形式在1859被布尼亞克夫斯基提出，而積分形式的現(xiàn)代證明則由施瓦茲于1888年給出。

　　不等式的內(nèi)容也十分博大。除了柯西不等式以外，還有其他不等式。

　　有琴生不等式，它給出積分的凸函數(shù)值和凸函數(shù)的積分值間的關(guān)系。

　　有均值不等式，即調(diào)和平均數(shù)不超過(guò)幾何平均數(shù)，幾何平均數(shù)不超過(guò)算術(shù)平均數(shù)，算術(shù)平均數(shù)不超過(guò)平方平均數(shù)。

　　有絕對(duì)值不等式，在不等式應(yīng)用中，經(jīng)常涉及質(zhì)量、面積、體積等，也涉及某些數(shù)學(xué)對(duì)象（如實(shí)數(shù)、向量）的大小或絕對(duì)值。它們都是通過(guò)非負(fù)數(shù)來(lái)度量的。

　　權(quán)方和不等式是一個(gè)數(shù)學(xué)中重要的不等式。其證明需要用到赫爾德（Holder）不等式，可用于放縮求最值（極值）、證明不等式等。

　　閔可夫斯基不等式和赫爾德不等式都涉及到了Lp空間。

　　有伯努利不等式。

　　有排序不等式。設(shè)有兩組數(shù)a1，a2，……an和b1，b2，……bn，滿(mǎn)足a1≤a2≤……≤an，b1≤b2≤……≤bn，c1，c2，……cn是b1，b2，……bn的亂序排列，則有a1bn+a2bn-1+……+anb1≤a1c1+a2c2+……+ancn≤a1b1+a2b2+……+anbn，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=……=an或b1=b2=……=bn時(shí)等號(hào)成立。一般為了便于記憶，常記為：反序和≤亂序和≤順序和.

　　不等式成為了不確定數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要研究?jī)?nèi)容，往往在很多代數(shù)化問(wèn)題不容易解決的情況下，都會(huì)動(dòng)用不等式產(chǎn)生奇效。