拉普拉斯也覺得柯西的文章數(shù)目太多了，讓人目不暇接。覺得柯西主要一有空腦子里就會想數(shù)學的事情，很多事情僅僅是一種講究，根本就沒必要去當一會兒事。
拉普拉斯對柯西說：“你的論文太多，繁雜而繚亂，這對研究數(shù)學不利。你應該少而簡單點才對?！?p> 柯西一聽到拉普拉斯如此說，心想，這樣不是第一次被人質(zhì)疑了。或許有的人就是因為嫉妒吧?？挛髡f：“你說說看，數(shù)學走到今天，還能怎么簡單得下來。而且，你給你一個絕望的消息，數(shù)學以后可能會越來越多，一生都不會有人學完?！?p> 拉普拉斯說：“不會吧，盡量還是有幾句話就點透一個人吧?！?p> 柯西說：“大方向肯定可以點透一個人，但是數(shù)學中有很多重要的細節(jié)。如果你不當回事兒，別人可以找出其中的麻煩。”
拉普拉斯跟柯西說：“即使有了發(fā)現(xiàn)，有必要寫這么多嗎？你的文章大家都看不完?！?p> 柯西說：“確實多了些，但是我的東西還是需要細細的看。因為，我在研究數(shù)學的過程中發(fā)現(xiàn)了一些驚人的東西。我敢保證，這肯定是數(shù)學的未來?！?p> 拉普拉斯說：“你的那些東西是未來？”
柯西說：“就比如微積分，如果不使用我的這種語言來描述。而僅僅用牛頓和萊布尼茨的那種描述，那就會被無窮小到零這樣的問題來反駁。”
拉普拉斯說：“我認為初學者不應該使用你這種描述方式，畢竟微積分是一個公式，本領(lǐng)不算難，但經(jīng)過你這種嚴謹?shù)姆椒?，反而弄得難了。讓很多本來可以學會的學生，都知難而退了?！?p> 柯西說：“那也得這樣來，人就是這樣的，你簡單點，他們挑你毛病，你仔細點，對方就學不會。只能說，被嚇退的，僅僅是因為還不夠愛數(shù)學而已?！?p> 拉普拉斯無話可說，但是依然不太服氣。
1821年柯西出版了《分析教程》，這是第一次將數(shù)學分析建立在正式基礎(chǔ)上。它為巴黎綜合理工學院的學生設(shè)計，致力于盡可能嚴格地發(fā)展微積分的基本定理。
柯西是極限理論的集大成者，他使得整個微積分理論建立在極限理論的基礎(chǔ)之上，使分析學開始一步步走向嚴格化。可以說，分析學的歷史發(fā)展是以柯西為分界線的，而后面的數(shù)學大師們都可看作是他的門徒。
以嚴格化為目標，柯西對微積分的基本概念，如變量、函數(shù)、極限、連續(xù)性、導數(shù)、微分、收斂等等給出了明確的定義，并在此基礎(chǔ)上重建和拓展了微積分的重要事實與定理。以下是柯西關(guān)于極限的定義：
當屬于一個變量的相繼大的值無限地趨近某個固定值時，如果最終固定值之差可以隨意地小，那么這個固定值就稱為所有這些值的極限。
然而柯西的極限思想并不是沒有缺陷的。極限理論在當時還只能說是“比較嚴格”，人們不久便發(fā)現(xiàn)柯西的理論實際上也存在漏洞。例如，他用了許多“無限趨近”、“想要多小就多小”等直覺描述的語言。
我們在這里不得不提到另外一位傳奇的分析學大師——魏爾斯特拉斯。
為什么極限理論的建立需要實數(shù)理論？
我們不妨開門見山，首先要問——我們的連續(xù)性是否需要實數(shù)？柯西列極限的存在性是否需要實數(shù)？零點定理的保證是否也需要實數(shù)？
如果數(shù)系不是連續(xù)的，是離散的，那么某些數(shù)列的極限是否存在就值得懷疑。
我們知道，現(xiàn)代的極限定義是用實數(shù)來定義一個數(shù)列的極限值的。但是對于有理柯西列，放在有理數(shù)域，它的極限值就不一定存在。
另外，我們考慮介值定理，最簡單的就是零點存在定理。想象一下一條曲線穿過數(shù)軸，直觀的判斷必然會有零點存在嗎？我們說，當然，怎么可能沒有零點存在呢。不過，我們這里已經(jīng)默認這樣一條數(shù)軸是連續(xù)的，這里就要糾結(jié)一下，這里的數(shù)是什么，是單純的有理數(shù)嘛？這時還沒有實數(shù)。
因為有理數(shù)盡管是稠密的，但它是離散的，而且無理數(shù)還沒有被嚴格定義。如果不嚴格定義實數(shù)，不是放在實數(shù)系去考慮，那么單純借助極限理論我們無法得到這樣美妙且直觀的定理。
我們不禁要大聲疾呼：
連續(xù)性需要實數(shù)的嚴格定義！
柯西列極限的存在需要實數(shù)的嚴格定義！
零點定理的保證也同樣需要實數(shù)的嚴格定義！