第二百三十九章 柯西方程是加性函數(shù)方程（方程學(xué)）

　　常常有人說柯西是個奇葩，是一個不正常的怪人，甚至有人認(rèn)為他是神經(jīng)質(zhì)的。

　　常給人一種膈應(yīng)的感覺。

　　柯西也常常思索，自己的不正常是不是傷害了很多的人，是不是會壞掉自己的大事？

　　但是搞科學(xué)的人，又有幾個是真正的正常人，他們都從事的是以數(shù)學(xué)和物理為主的事業(yè)，不會太喜歡跟人打交道的，所以有幾分不正常也是正常的。

　　法國需要懂?dāng)?shù)學(xué)的人，那就是需要的是奇葩，如果不是個奇葩，就是個世俗功利的人，那種人有什么用途？難道法國的未來僅僅是要更多的世俗功力的人嗎？什么創(chuàng)造力都沒有，就領(lǐng)一點(diǎn)點(diǎn)薪水了此一生。這種人活著的意義是什么？

　　柯西陷入深思，很多函數(shù)的相加直接導(dǎo)致了函數(shù)性質(zhì)的變化。

　　柯西開始尋找一種加過之后沒有改變性質(zhì)的函數(shù)。

　　這就是加性函數(shù)，可以表示為f(x+y)=f(x)+f(y)。

　　柯西知道，一般在正比例函數(shù)f(x)=cx情況下會滿足這一點(diǎn)。

　　柯西在1821年證明f是連續(xù)的函數(shù)，后來在1875年被達(dá)布將條件減弱為f在某點(diǎn)連續(xù)。

　　存在a，b∈R，(a

　　f單調(diào)，或f在某開區(qū)間單調(diào)。

　　存在ε1>0，使得x∈[0，ε1]，有f(x)≥0，或者存在ε2>0，使得x∈[0，ε2]，有f(x)≤0

　　如果沒有其他條件的話，假如承認(rèn)選擇公理成立，那么有無窮非f(x)=cx的函數(shù)滿足該條件，這是1905年哈默(Georg Hamel)利用哈默基的概念證明的。

　　后來哈默爾和勒貝格知道還有其他類型的方程也滿足加性函數(shù)條件。

　　希爾伯特第五問題是該方程的推廣

　　存在實(shí)數(shù)c使得f(cx)≠cf(x)解稱為柯西-哈默方程(Cauchy-Hamel function)，希爾伯特第三問題中，從3-D向高維度的推廣所用的德恩-哈德維格不變量（Dehn-Hadwiger invariant(s)），其中就用到柯西-哈默方程。