第二百四十四章 柯西主值（微積分）

　　柯西之旅，數(shù)學(xué)家中一說到柯西，就有一種枯燥的感覺鋪面而來。

　　總以為柯西喜歡去規(guī)定一些東西，以嚴(yán)謹(jǐn)著稱。

　　其實(shí)這對柯西很冤枉，因?yàn)榭挛髌鋵?shí)恰恰是一個(gè)喜歡有各種創(chuàng)造的人。

　　他可以在數(shù)學(xué)中很多不同的方面做出各種各樣讓人意想不到的事情，這樣的數(shù)學(xué)家正是一個(gè)讓人興奮的數(shù)學(xué)家。

　　因?yàn)樗腥A麗的思維，這是最吸引人的一面。

　　柯西最近就開始考慮，如何對一些不正常的函數(shù)進(jìn)行積分了。

　　一般的積分的函數(shù)，往往都是連續(xù)可導(dǎo)的情況，對于不連續(xù)的函數(shù)，理所應(yīng)當(dāng)被歸類到不可以積分的那個(gè)范圍。

　　而柯西認(rèn)為，不連續(xù)一些函數(shù)也是可以求面積，甚至是體積的。

　　在寫法上直接那樣寫就行，倒也順當(dāng)，但是會看起來不合法，但是真的不合法嗎？

　　這個(gè)從直覺上可以感知出來。

　　比如想函數(shù)y=1/x*x這樣的函數(shù)，在x=0是發(fā)散的。

　　柯西使勁看著這個(gè)函數(shù)，心中中感覺，它下包圍的面積大小是可以知道的，因?yàn)檫@是收斂的，不是發(fā)散的。

　　如果在數(shù)值上是收斂的，那不就可以去認(rèn)為面積不是無窮大了嗎？那不就是有特定面積的？

　　所以，要按照微積分的基本方法去求，是不是具備一定的合理性去直接求積分，那就需要在零點(diǎn)處看看能不能找到一種意義，規(guī)范好了，就直接去求積分。

　　求積分容易，關(guān)鍵是需要給他找到一個(gè)合理性，這個(gè)合理性是什么？

　　就是連續(xù)性大致存在，而在無窮大點(diǎn)處也有連續(xù)不斷接近的性質(zhì)。

　　只要這樣，就可以求積分。

　　存在的合法性，就是可以不斷的接近，這種不斷的接近就是一種連續(xù)性，妙哉！

　　在求無窮大區(qū)間的積分的時(shí)候，只需要讓其變成定積分的形式，先求出積分的式子，之后讓取點(diǎn)積分區(qū)間那個(gè)值成為一種接近無限的值。

　　還可以在無窮大的點(diǎn)哪里，取左右分開求積分那種形式，在無窮大點(diǎn)處也帶入定值，讓最后的那個(gè)積分公式取無窮來計(jì)算即可。

　　這種值就是柯西主值。

　　柯西主值是在微積分中，實(shí)數(shù)線上的某類瑕積分，為紀(jì)念柯西而得此名。

　　瑕積分(improper integral)是高等數(shù)學(xué)中微積分的一種，是被積函數(shù)帶有瑕點(diǎn)的廣義積分。

　　在物理學(xué)中有Kramers–Kronig定理，就是說響應(yīng)和耗散分別是一個(gè)函數(shù)的實(shí)部和虛部，他們之間由一個(gè)柯西主值積分相聯(lián)系。

　　實(shí)驗(yàn)上一般測量響應(yīng)或者耗散的其中一個(gè)，然后按Kramers–Kronig定理積分取柯西主值就可以得到另一個(gè)。

　　這里的積分是不能收斂的，如果不取柯西主值，物理學(xué)家就無法進(jìn)行下一步。