第二百四十五章 柯西奇異積分方程（反常積分）

　　萊布尼茨積分方程，在工程和力學(xué)上有大用。

　　積分號下含有未知函數(shù)的方程。對構(gòu)建模型和求解過程帶來很大的便利，和很高的精確度。

　　其中未知函數(shù)以線性形式出現(xiàn)的，稱為線性積分方程；否則稱為非線性積分方程。積分方程起源于物理問題。

　　牛頓第二運動定律的出現(xiàn)，促進了微分方程理論的迅速發(fā)展，然而對積分方程理論發(fā)展的影響卻非如此。

　　1823年，N.H.阿貝爾在研究地球引力場中的一個質(zhì)點下落軌跡問題時提出的一個方程，后人稱之為阿貝爾方程，是歷史上出現(xiàn)最早的積分方程，但是在較長的時期未引起人們的注意。

　　“積分方程”一詞是 P.du B.雷蒙德于1888年首先提出的。

　　19世紀的最后兩年，瑞典數(shù)學(xué)家（E.）I.弗雷德霍姆和意大利數(shù)學(xué)家V.沃爾泰拉開創(chuàng)了研究線性積分方程理論的先河。

　　從此，積分方程理論逐漸發(fā)展成為數(shù)學(xué)的一個分支。

　　在地質(zhì)學(xué)中制作地球內(nèi)部的精細三維圖問題。

　　這種圖對勘探礦產(chǎn)、預(yù)報地震等等都很需要，但不能采用實驗的方法來制作，而只能采取間接的方法解決，一般是借助尖端的精密儀器和人造衛(wèi)星精確地定出地球外部點處的地球引力位勢，再利用引力位勢的方法歸結(jié)出關(guān)于地球內(nèi)部密度的第一種弗雷德霍姆積分方程。

　　在空氣動力學(xué)中研究分子運動，考慮非均勻流體中懸浮晶粒的布朗位移和熱擴散，導(dǎo)致了以柯爾莫哥洛夫命名的一類積分方程。

　　在確定飛機機翼的剖面時，需要對環(huán)流、升力、阻力等等效應(yīng)進行計算，也往往導(dǎo)致一個積分方程（如薄翼理論的基本方程、升力線理論的方程等）。

　　其他如中子遷移、電磁波衍射以及經(jīng)濟學(xué)與人口理論等都導(dǎo)致奇異積分方程的研究。

　　柯西奇異積分方程，是在柯西主值下奇異函數(shù)，與赫雷德霍姆的奇異函數(shù)不一樣。

　　柯西奇異積分方程上的L是復(fù)平面上一光滑閉合曲線。

　　柯西奇異積分方程的研究已有很長的歷史，差不多在建立弗雷德霍姆理論的同時，即已出現(xiàn)在希爾伯特和龐加萊等人的工作中，以后經(jīng)過許多數(shù)學(xué)家的努力，這一類方程的理論已發(fā)展得相當(dāng)完善。它在彈性理論、空氣動力學(xué)、水力學(xué)、量子場論以及數(shù)學(xué)物理等方面有著廣泛的應(yīng)用。