第三百一十章 魏爾斯特拉斯函數(shù)（反常函數(shù)）

　　Engel對維爾斯特拉斯說：“我知道狄利克雷函數(shù)它處處不連續(xù)，處處極限不存在。還沒聽說過處處連續(xù)而處處不可導(dǎo)的函數(shù)。會有這樣的函數(shù)嗎？”一般人在直覺上會認(rèn)為連續(xù)的函數(shù)必然是可導(dǎo)的，即使不可導(dǎo)，不可導(dǎo)的點(diǎn)也必然只占整體的一小部分

　　維爾斯特拉斯寫出了一個方程，是一個余弦求和函數(shù)，外部系數(shù)a的n次方，a大于0小于1，內(nèi)部角的系數(shù)是b的n次方乘以π，其中b是正奇數(shù)，符合一個條件a乘以b大于1加π乘以1.5.

　　Engle說：“這樣的函數(shù)式如何處處連續(xù)的？”

　　維爾斯特拉斯大概將圖描出來，是一個異常都懂像是充滿毛刺的圖。

　　Engle說：“這跟狄利克雷函數(shù)差不多了看，看起來處處不連續(xù)了?！?p>　　維爾斯特拉斯說：“這個圖放大了還是這種形狀，一直放大，一直是這樣相同的形狀。”爾斯特拉斯函數(shù)可以說是第一個分形函數(shù)，盡管這個名詞當(dāng)時還不存在。將魏爾斯特拉斯函數(shù)在任一點(diǎn)放大，所得到的局部圖都和整體圖形相似。無論如何放大，函數(shù)圖像都不會顯得更加平滑，不像可導(dǎo)函數(shù)那樣越來越接近直線；仍然具有無限的細(xì)節(jié)，不存在單調(diào)的區(qū)間。

　　Engle說：“聽起來確實(shí)十分病態(tài)?！?p>　　維爾斯特拉斯說：“根據(jù)我發(fā)現(xiàn)的判別法可以證明這個函數(shù)的收斂性，也進(jìn)一步證明這個函數(shù)是處處連續(xù)的?！?p>　　Engle說：“那如何去處處證明這個函數(shù)式處處不可導(dǎo)？”

　　維爾斯特拉斯說：“直接使用求導(dǎo)公式來，可以從中導(dǎo)出數(shù)列，導(dǎo)出矛盾?！?