奧古斯特·費迪南德·莫比烏斯自打跟克萊因討論的翻轉(zhuǎn)這個事情以來,自己在很多問題上都想找到各種奇思妙想的翻轉(zhuǎn)。
其中一個是關于數(shù)論中因子分解的翻轉(zhuǎn),就是莫比烏斯反演。
莫比烏斯反演是數(shù)論數(shù)學中很重要的內(nèi)容,可以用于解決很多組合數(shù)學的問題。
莫比烏斯研究如下函數(shù):
F(1)=f(1)
F(2)=f(1)+f(2)
F(3)=f(1)+f(3)
F(4)=f(1)+f(2)+f(4)
F(5)=f(1)+f(5)
F(6)=f(1)+f(2)+f(3)+f(6)
F(7)=f(1)+f(7)
F(8)=f(1)+f(2)+f(4)+f(8)
反演變化過來時以下情況:
f(1)=F(1)
f(2)=F(2)-F(1)
f(3)=F(3)-F(1)
f(4)=F(4)-F(2)
f(5)=F(5)-F(1)
f(6)=F(6)-F(3)-F(2)+F(1)
f(7)=F(7)-F(1)
f(8)=F(8)-F(4)
后來的莫比烏斯函數(shù)用在黎曼猜想J(x)公式里。
μ(1)= 1
μ(n)= 0 (如果 n 可以被任一素數(shù)的平方整除)
μ(n)=-1 (如果 n 是奇數(shù)個不同素數(shù)的乘積)
μ(n)= 1 (如果 n 是偶數(shù)個不同素數(shù)的乘積)。
因此知道了 J(x)就可以計算出π(x),即素數(shù)的分布函數(shù)。把這些步驟連接在一起,我們看到,從 ζ(x)到 J(x),再從 J(x)到π(x),素數(shù)分布的秘密完全定量地蘊涵在了 Riemann ζ函數(shù)之中。這就是 Riemann 研究素數(shù)分布的基本思路。
莫比烏斯反演用在黎曼猜想上,就充分說明了在黎曼猜想上,有一個更加深刻的反演的東西,這也許是莫比烏斯和克萊因要尋找的那種反演的東西。