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數(shù)學心

第三百三十三章 莫比烏斯反演(數(shù)論)

數(shù)學心 蔡澤禹 1418 2020-10-30 05:22:28

  奧古斯特·費迪南德·莫比烏斯自打跟克萊因討論的翻轉(zhuǎn)這個事情以來,自己在很多問題上都想找到各種奇思妙想的翻轉(zhuǎn)。

  其中一個是關于數(shù)論中因子分解的翻轉(zhuǎn),就是莫比烏斯反演。

  莫比烏斯反演是數(shù)論數(shù)學中很重要的內(nèi)容,可以用于解決很多組合數(shù)學的問題。

  莫比烏斯研究如下函數(shù):

  F(1)=f(1)

  F(2)=f(1)+f(2)

  F(3)=f(1)+f(3)

  F(4)=f(1)+f(2)+f(4)

  F(5)=f(1)+f(5)

  F(6)=f(1)+f(2)+f(3)+f(6)

  F(7)=f(1)+f(7)

  F(8)=f(1)+f(2)+f(4)+f(8)

  反演變化過來時以下情況:

  f(1)=F(1)

  f(2)=F(2)-F(1)

  f(3)=F(3)-F(1)

  f(4)=F(4)-F(2)

  f(5)=F(5)-F(1)

  f(6)=F(6)-F(3)-F(2)+F(1)

  f(7)=F(7)-F(1)

  f(8)=F(8)-F(4)

  后來的莫比烏斯函數(shù)用在黎曼猜想J(x)公式里。

  μ(1)= 1

  μ(n)= 0 (如果 n 可以被任一素數(shù)的平方整除)

  μ(n)=-1 (如果 n 是奇數(shù)個不同素數(shù)的乘積)

  μ(n)= 1 (如果 n 是偶數(shù)個不同素數(shù)的乘積)。

  因此知道了 J(x)就可以計算出π(x),即素數(shù)的分布函數(shù)。把這些步驟連接在一起,我們看到,從 ζ(x)到 J(x),再從 J(x)到π(x),素數(shù)分布的秘密完全定量地蘊涵在了 Riemann ζ函數(shù)之中。這就是 Riemann 研究素數(shù)分布的基本思路。

  莫比烏斯反演用在黎曼猜想上,就充分說明了在黎曼猜想上,有一個更加深刻的反演的東西,這也許是莫比烏斯和克萊因要尋找的那種反演的東西。

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