第三百三十四章 戴德金原理和定理（微積分）

　　在對有理數(shù)集Q利用戴德金分割構(gòu)造實數(shù)之前，先給出一個引理：任意兩個有理數(shù)之間，必然存在無數(shù)個有理數(shù)。

　　引理非常容易證明，設(shè)a和b是兩個有理數(shù)，那么它們的算術(shù)平均值c=(a+b)/2也必然是有理數(shù)并且c一定介于a和b之間。

　　戴德金定理是刻畫實數(shù)連續(xù)性的命題之一，也稱實數(shù)完備性定理。

　　它斷言，若A|A'是實數(shù)系R(即有理數(shù)集的所有戴德金分割的集合，并以明顯的方式定義了大小順序及四則運算)的戴德金分割，則由它可確定惟一實數(shù)β，若β落在A內(nèi)，則它為A中最大元，若β落在A'內(nèi)，則它是A'中最小元。

　　這個定理說明，R的分割與全體實數(shù)是一一對應(yīng)的，反映在數(shù)軸上，它又說明，R的分割不再出現(xiàn)空隙，因此，這個定理可用來刻畫實數(shù)的連續(xù)性。

　　數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)了除數(shù)字以外的各種形式的數(shù)學(xué)，有各種群、環(huán)、域、模等各種重要的結(jié)構(gòu)。所以數(shù)學(xué)家不可避免的要反思，數(shù)字，也就是實數(shù)是怎樣的一種系統(tǒng)，是否在以上的分類中有嚴(yán)格性?；蛘哂惺裁礃拥奶厥庑?，或者是否是一個好的例子。

　　戴德金開始跟黎曼和狄利克雷等人討論過關(guān)于實數(shù)系統(tǒng)的嚴(yán)謹(jǐn)性。

　　戴德金對狄利克雷說：“你讓我去看看實數(shù)是否符合對應(yīng)的群、環(huán)、域、模這種結(jié)構(gòu)，那就需要挨個去看看他們的嚴(yán)格性。那么我們要對這個看似簡單，但是卻有點精彩而復(fù)雜的系統(tǒng)進(jìn)行梳理的時候?！?p>　　狄利克雷說：“沒錯，這是遲早的，也是有意義的。我們定義了自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)這些東西，但是我們并不是真正的了解它，因為他們的嚴(yán)格性有待商榷。用了這么久，也該看看這些都是什么樣子了。”

　　戴德金說：“其中最為關(guān)鍵的，是一個看似簡單，但是卻麻煩重重的有理數(shù)和無理數(shù)的區(qū)分方式。因為他們都摻雜的連續(xù)的在數(shù)軸上，我們需要有一個理論，能夠讓這些東西進(jìn)行區(qū)分?！?p>　　狄利克雷說：“是的他們的混雜，是如此的連綿不絕，卻有膈應(yīng)的無窮?！?p>　　戴德金說：“我已經(jīng)找到了一種分割的方式，能夠證明實數(shù)是完備的?！?p>　　狄利克雷說：“可以保證數(shù)軸直線的連續(xù)性？如何分割？”

　　戴德金說：“如果把直線的所有點分成兩類，使得：每個點恰屬于一個類，每個類都不空。然后，第一類的每個點都在第二類的每個點的前面，或者在第一類里存在著這樣的點，使第一類中所有其余的點都在它的前面；或者在第二類里存在著這樣的點，它在第二類的所有其余的點的前面。”

　　狄利克雷說：“這能說明實數(shù)的什么性質(zhì)？聽起來怎么沒有感覺？”

　　戴德金說：“可以推出數(shù)理論中的六大基本定理：確界原理、單調(diào)有界定理、閉區(qū)間套定理、有限覆蓋定理、致密性定理和柯西收斂準(zhǔn)則。”

　　狄利克雷說：“確界原理我知道，波爾查諾發(fā)現(xiàn)了確界原理，就是講如果有實數(shù)集有上界，那就有上確界。有下界，就有下確界?！?p>　　戴德金說：“這個看似廢話的定理有一定的重要性，知道如果有界，必然就會有最大值和最小值?！?p>　　狄利克雷說：“單調(diào)有界也是具有單調(diào)性的，必然喲最大值和最小值?！?p>　　戴德金說：“閉區(qū)間套定理，是實數(shù)連續(xù)性的一種描述，幾何意義是，有一列閉線段，兩個端點也屬于此線段，后者被包含在前者之中，并且由這些閉線段的長構(gòu)成的數(shù)列以О為極限，則這一列閉線段存在唯一一個公共點?！?p>　　狄利克雷說：“一種不動點在其中?！?p>　　戴德金說：“有限覆蓋定理，是設(shè)H是閉區(qū)間[a，b]的一個無限開覆蓋，則必可以從H中選擇有限個開區(qū)間來覆蓋[a，b]?！?p>　　狄利克雷說：“有限覆蓋定理是一個有用而且重要的定理．它是數(shù)學(xué)分析處理問題的一種重要方法，在數(shù)學(xué)各領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用．有限覆蓋定理的作用是從覆蓋閉區(qū)間的無限個開區(qū)間中能選出有限個開區(qū)間也覆蓋這個閉區(qū)間．由“無限轉(zhuǎn)化為有限”是質(zhì)的變化，它對證明函數(shù)的某些性質(zhì)提供了新的數(shù)學(xué)方法?！?p>　　戴德金說：“致密性原理就是有界數(shù)列必有收斂子列。”

　　狄利克雷說：“同樣可以以你的分割法來證明。”

　　戴德金說：“柯西收斂，這也是不可避免了，這是完備性的一個體現(xiàn)?！?p>　　戴德金于1872年提出來的，在構(gòu)造歐氏幾何的公理系統(tǒng)時，可以選取它作為連續(xù)公理，在希爾伯特公理組Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的基礎(chǔ)上，阿基米德公理和康托爾公理合在一起與戴德金原理等價。