費馬知道，光沿著這條路徑傳播所需的時間，要比其他的路徑所需的時間都更短。用于研究變分的問題。
莫佩爾蒂認為，一切物體運動的作用量都是按最小來，原因是宇宙的運轉(zhuǎn)是很經(jīng)濟化的。他發(fā)現(xiàn)了公式A=mvs。用于動量和折射方面的理論。
歐拉獨立于莫佩爾蒂發(fā)現(xiàn)了這個公式，但是歐拉提出的是對mv求s的積分這種形式。
歐拉又將這結(jié)果推廣至一群粒子。他認為最小作用原理所以正確，是因為粒子的慣性試著阻抗任何關(guān)于狀態(tài)的改變，自由粒子會選擇遵循影響最小的作用力。
拉格朗日作用量，就是動能減去勢能，方程對應L=T-V。代表的正是此刻即將能夠發(fā)生運動的能量。
力學運用到變分原理，成為力學變分原理，虛功是其微分形式，哈密頓原理是積分形式。
哈密頓根據(jù)拉格朗日作用量提出了哈密頓原理。
哈密頓知道，一群粒子的運動狀態(tài)沒辦法一個個的精確表示，只能是籠統(tǒng)的只用一個系統(tǒng)的作用量來表示這一群粒子總的作用量。
在N+1維空間(q1，q2，…，qN；t)中，任兩點之間連線上動勢L(q，t)(見拉格朗日方程)的時間積分以真實運動路線上的值為駐值。
為什么水喜歡往低處流，為什么一根兩端懸掛起來的線會自然彎成一道優(yōu)美的弧線，為什么太空中的星體和水滴都不約而同地選擇球體這個形狀。這些有趣的現(xiàn)象背后，就是最小作用量原理。
這個原理用最通俗的話說就是，大自然是一個精明的經(jīng)濟學家，它總會選擇最省力，成本最低的方法來構(gòu)建這個世界。此時，如果你掌握數(shù)學中的變分法，那么你就可以從最小作用量原理推導出牛頓第二定律。
近代物理中，最小作用量原理依然閃爍著光芒。廣義相對論告訴我們，在彎曲時空中，光依然會選擇最便捷的道路，而絕對不會去選擇一條最艱難的道路。而最小作用量原理也啟發(fā)了費曼，他提出了路徑積分量子化的思想，把量子場論的研究向前推進了一大步。
有了最小作用量原理，我們還會得到更本質(zhì)的東西——對稱性。
什么是對稱？對稱就是不變的東西！也就是說，經(jīng)過一系列操作之后，不變的物理量，就是這種操作下的不變量，那么這種物理量就具有了某種對稱性。
空間平移不變，對應的就是動量守恒，而時間平移不變，則對應著能量守恒。