第三百四十七章 康托爾定理和悖論（集合論）

　　康托爾定理(Cantor's Theorem)：用P(X)記X的一切子集構(gòu)成的集，用cardX表示X的勢(shì)，則cardX < cardP(X)。康托爾定理指的是在Zermelo-Fr?nkel集合論中，聲稱任何集合A的冪集（所有子集的集合）的勢(shì)嚴(yán)格大于A的勢(shì)。康托爾定理對(duì)于有限集合是明顯的，但是令人驚奇的是它對(duì)于無限集合也成立。特別是，可數(shù)無限集合的冪集是不可數(shù)無限的。要展示康托爾定理的對(duì)于無限集合的有效性，只需要測(cè)試一下下面證明中無限集合。

　　1874年，康托爾開始引進(jìn)他的令人感到神秘莫測(cè)的無窮大概念。

　　康托爾提出了集合論，而且提出一種冪基，是原集合中所有子集組成的集合。冪基的個(gè)數(shù)大于原集合元素的個(gè)數(shù)。這是因?yàn)閮缂c原集無法形成一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系了。

　　如果自然數(shù)是原集，自然數(shù)的冪集數(shù)大于自然數(shù)，所以自然數(shù)的冪集數(shù)的無窮大，比自然數(shù)的無窮大要多。而康托爾有證明了自然數(shù)的冪級(jí)數(shù)與實(shí)數(shù)一樣多，所以得知實(shí)數(shù)的無窮大數(shù)比自然數(shù)的無窮大要多。

　　康托爾證明直線、射線、線段上的點(diǎn)都一樣多，同時(shí)等于實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)。而且直線上點(diǎn)的個(gè)數(shù)與面上點(diǎn)的個(gè)數(shù)與體中點(diǎn)的個(gè)數(shù)一樣多。這也是康托爾悖論的核心內(nèi)容。

　　后來康托爾又發(fā)現(xiàn)函數(shù)的個(gè)數(shù)的無窮大比實(shí)數(shù)的無窮大又大。

　　所以最后推出任意函數(shù)個(gè)數(shù)>實(shí)數(shù)數(shù)（線上點(diǎn)的個(gè)數(shù)）>自然數(shù)數(shù)。

　　其中有理數(shù)個(gè)數(shù)等于自然數(shù)個(gè)數(shù)，無理數(shù)個(gè)數(shù)等于實(shí)數(shù)個(gè)數(shù)！

　　數(shù)學(xué)家克羅內(nèi)爾狠狠的批評(píng)了康托爾，說：“這不是數(shù)學(xué)，這是神秘學(xué)?！?p>　　康托爾也被這一番話弄得懷疑人生，還因?yàn)樽约赫娴木裼袉栴}了，然后進(jìn)了精神病院，后來才康復(fù)。

　　克羅內(nèi)爾的學(xué)生布勞威爾也同意自己老師的觀點(diǎn)，說：“數(shù)學(xué)必須是一種可以明確構(gòu)造的結(jié)果，不能是無法描述清楚的東西?！?p>　　外爾也說：“康托爾的理論是霧中之霧?！?p>　　克萊因也不喜歡康托爾的理論。

　　也有支持者。

　　胡爾維茨（1859－1919）在他的綜合報(bào)告中，明確地闡述康托爾集合論對(duì)函數(shù)論的進(jìn)展所起的巨大推動(dòng)作用，這破天荒第一次向國(guó)際數(shù)學(xué)界顯示康托爾的集合論不是可有可無的哲學(xué)，而是真正對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展起作用的理論工具。

　　希爾伯特認(rèn)為：“這是人類純粹智力活動(dòng)的最高成就之一，是這個(gè)時(shí)代所能夸耀的最巨大的工作。”