第三百七十三章 里奇的流形（流形）

　　1884年，里奇-庫爾巴斯托羅（Ricci-Curbastro）開始了關(guān)于絕對微積分（absolute differential calculus）的工作。

　　1900年，列維-齊維塔（Levi-Civita）和里奇-庫爾巴斯托羅（Ricci-Curbastro）出版了《絕對微積分方法及其應(yīng)用》（Méthodes de calcul differential absolu et leures applications），其中他們建立了張量理論，15年后在廣義相對論中用到。

　　列維-齊維塔對里奇說：“想要確認(rèn)是不是拓?fù)鋵W(xué)等價，也需要經(jīng)過拓?fù)涞葍r變化得來的。”

　　里奇說：“等價變換的過程，就意味著這個東西需要做一個改變了，尤其是曲率會有改變?！?p>　　列維說：“聽起來好復(fù)雜啊，能夠完成嗎？”

　　里奇說：“會的，復(fù)雜但不意味著做不到，一個有曲率的流形，可以用埃爾米特度量來表示，曲率的變換，僅僅是那些上三角矩陣中數(shù)字的變換而已?！?p>　　列維說：“我們可以嘗試的去掌握這種變換?！?p>　　里奇想拿熱學(xué)做類比，但是實(shí)際不成熟，腦中想了想之后，還是壓下去低調(diào)的說：“沒錯，到時候等價拓?fù)淞餍巫儞Q，就是埃爾米特流形度量矩陣?yán)飻?shù)字的變化而已。那個時候，我們可以使用這個工具去構(gòu)造?！崩锲嫱蝗辉谙?，很多熱力學(xué)中的復(fù)雜變化跟這個里奇流變化也有關(guān)系，而且埃爾米特度量矩陣中的數(shù)字，有了一種類似于玻爾茲曼公式中的熱學(xué)信息的秩序感，那么熱學(xué)中的無序變化，就是熱學(xué)中埃爾米特度量的數(shù)字信息的變化，從這個數(shù)字上可以反映出有序到無序的不可逆性，就類似了棋盤和擺牌這種模型了。

　　列維說：“然后用它可以完成一系列的拓?fù)涫中g(shù)，構(gòu)造幾何結(jié)構(gòu)，把不規(guī)則的流形變成規(guī)則的流形。這個可以應(yīng)用在力學(xué)中，力學(xué)可以讓材料發(fā)生變形。力學(xué)幾何解釋就是，內(nèi)在的曲率變化就是封閉流形的度規(guī)變化的原因。把局部內(nèi)在轉(zhuǎn)動歸結(jié)為封閉流形位形幾何演化的內(nèi)在原因?！?p>　　里奇覺得力學(xué)的比喻是十分恰當(dāng)?shù)?，而且還找到了變化的單元，借助這個局部轉(zhuǎn)動的概念，就可以像壘積木一樣的搭建一個流形大廈了。

　　同時他認(rèn)為可以從兩個角度來解釋：“對連續(xù)介質(zhì)力學(xué)而言，對dg/dt 可以作出應(yīng)變的對應(yīng)解釋。而在幾何上，對于曲率變化，可以做出局部內(nèi)在轉(zhuǎn)動的解釋?！?p>　　列維說：“所以，把局部內(nèi)在轉(zhuǎn)動歸結(jié)為封閉流形位形幾何演化的內(nèi)在原因。如果這個內(nèi)在轉(zhuǎn)動不為零，則封閉流形會演化下去，只到達(dá)成一個平衡位形?！?p>　　一般而言，外部的物理作用由一個泛函f引入，從而，完整的、在外場作用下的Ricci方程為：

　　dg/dt=-2Ricci(g)-2ddf(R)。

　　這樣，對特定的外場，就有一個特定的平衡位形。

　　與連續(xù)介質(zhì)力學(xué)不同，應(yīng)力的概念被一個依賴于曲率的泛函局部二階微分特性給定了。

　　這多少與格林應(yīng)力是等價的。

　　而在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中，一個長期以來的難題是如何定義物質(zhì)微元的幾何屬性。

　　這個物質(zhì)微元是封閉的3-流形。

　　從而，Ricci流方程把微元閉流形的變化與連續(xù)介質(zhì)的宏觀位形變化連續(xù)了起來。

　　而在經(jīng)典的連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中，微元物質(zhì)是被隱涵的假定為三個1-流形的直和。

　　那是最為簡單的情況，這是特例。此時，各向同性假定是必須引入的。

　　但是，各向異性就象一個幽靈，緊隨大變形而來，如接受，就與前提矛盾；如不接受，又與客觀事實(shí)矛盾。因而，理性力學(xué)一直在這個問題上糾結(jié)不清。

　　在上世紀(jì)50年代后，一個流形的概念是把物質(zhì)微元看成是一個2-流形與一個1-流形的直和。這就是所謂的：有極介質(zhì)。它的最終成果就是液晶。

　　一個更為普遍性的介質(zhì)是：具有某種旋轉(zhuǎn)對稱性的各向異性介質(zhì)。（旋轉(zhuǎn)對稱軸是1-流形，旋轉(zhuǎn)曲面是2-流形。）

　　對任意的微元為3-流形的介質(zhì)，唯一的辦法是引入先天性的3個獨(dú)立矢（或者是任意的3-流形g(0)。）而這就是Ricci流。

　　這樣的一種描述才是現(xiàn)代材料科學(xué)所需求的連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的最基本的理論體系。

　　我國力學(xué)家陳至達(dá)建立的理性力學(xué)理論體系事實(shí)上就是按引入先天性的3個獨(dú)立矢來構(gòu)造的。

　　但是，只完成了幾何部分，沒有建立相應(yīng)的外場介入形式，而Ricci流方程恰恰是一個最為有力的補(bǔ)充。這樣，一個更為深刻的理論構(gòu)造方向就大門洞開了。

　　事實(shí)上，Truesdell， Noll，等等的后期理性力學(xué)一致的指向：連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的微元物質(zhì)概念。

　　我們能夠看到的是：Ricci流概念建立于上世紀(jì)80年代，在幾何上并沒有超前于理性力學(xué)。但是，在物理原因的描述上的確是超前于理性力學(xué)。

　　換句話說：Ricci流概念為理性力學(xué)與現(xiàn)代物理的結(jié)合打開了一扇大門，而陳理性力學(xué)是與Ricci流概念協(xié)調(diào)的變形力學(xué)體系。我走在了正確的道路上。這是值得自豪的。