第三百九十八章 希爾伯特空間（測度論）

　　隨著高維空間的概念的增加，數(shù)學(xué)上必須開始正視高維空間的坐標(biāo)系這樣的東西引入了。

　　希爾伯特認(rèn)為，想要引入這些概念，就需要讓他們變得標(biāo)準(zhǔn)化。

　　首先從歐幾里德空間的一個推廣，其不再局限于有限維的情形。

　　然后規(guī)定其上有距離和角的概念，引申而來的正交性與垂直性的概念。

　　希爾伯特空間也是一個內(nèi)積空間。

　　還是一個完備的空間，其上所有的柯西序列等價于收斂序列，從而微積分中的大部分概念都可以無障礙地推廣到希爾伯特空間中。

　　希爾伯特空間為基于任意正交系上的多項式表示的傅立葉級數(shù)和傅立葉變換提供了一種有效的表述方式，而這也是泛函分析的核心概念之一。

　　最后可以引入量子力學(xué)中。

　　也為Lp空間奠定基礎(chǔ)。

　　L空間都是巴拿赫空間，但只有當(dāng)p= 2的時候，L空間是希爾伯特空間。

　　也就是說，可以為L空間中的元素定義內(nèi)積。

　　表示復(fù)數(shù)的共軛。

　　這個內(nèi)積是從2-范數(shù)自然誘導(dǎo)的內(nèi)積。

　　L空間在傅立葉級數(shù)和量子力學(xué)以及其他領(lǐng)域有著重要的運(yùn)用。

　　空間可以看作是L空間的特例。

　　只要取L空間中的，測度為上的計數(shù)測度，則對應(yīng)的就是空間。