第四百一十章 勒貝格測度（測度論）

　　不可積分函數(shù)的問題出現(xiàn)多年，但讓此刻的勒貝格陷入沉思。

　　明明那種函數(shù)是有一定面積的，為什么非說不可積分，但要去求也無法按照固有模式下手。

　　若爾當(dāng)曾提醒：“為什么按照黎曼積分才叫最合理？難道沒有其他形式的積分嗎？”

　　勒貝格想：即使如老師所說，也不能直接突兀的找奇特形式的積分。就算是要找，那也需要對這種新的積分形式有一個(gè)好的解釋。

　　這個(gè)解釋就是，什么是真正的可積分的？

　　很多模型的問題在于，體積的單元和組成體的東西的方式多不嚴(yán)謹(jǐn)，探討和計(jì)算之時(shí)，出現(xiàn)了很多不可思議的錯(cuò)誤，這種矛盾上升到哲學(xué)層面，就是人類對點(diǎn)線面的認(rèn)識不夠深刻。

　　如果想要深刻，不能在測量的問題上產(chǎn)生矛盾。

　　勒貝格第一時(shí)間想到了等間距的點(diǎn)陣，數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，總是不會(huì)有太大錯(cuò)。點(diǎn)又個(gè)數(shù)，沒有體積，不會(huì)自我相交。點(diǎn)的個(gè)數(shù)在某種層面上，就是代表點(diǎn)陣的準(zhǔn)確面積和體積。

　　無非就是知道長度之和，求長寬高直接相乘就可以了，如何一個(gè)可以測的，就是長度符合可以測量的標(biāo)準(zhǔn)，讓長寬高相乘就可以了。

　　“是多少個(gè)點(diǎn)，就是多少個(gè)體積，就是笨辦法來求，也指定不會(huì)錯(cuò)誤?！?p>　　點(diǎn)陣在古代就是形數(shù)，曾解決畢達(dá)哥拉斯定理的證明。

　　此刻依然可以在看似不可積分的積分問題上能夠發(fā)揮作用，發(fā)揮嚴(yán)謹(jǐn)解釋的作用。

　　勒貝格笑了：“真正的體積和面積是由連綿不斷的點(diǎn)組成的，哪里像我所說如此簡單，弄個(gè)點(diǎn)陣呢？”

　　其實(shí)，只要讓一個(gè)數(shù)學(xué)坐標(biāo)中，符合點(diǎn)陣的一種數(shù)學(xué)模型存在就行，那種無限的點(diǎn)陣鋪滿坐標(biāo)的形式，就是環(huán)。

　　環(huán)在宏觀上，好解釋，把坐標(biāo)中單位為1的網(wǎng)格畫出來，就是一個(gè)很簡單的整數(shù)環(huán)。

　　但是坐標(biāo)中有大量的小數(shù)，那這些無窮小的小數(shù)位單位，畫網(wǎng)格就不容易了，那就把單位為 1的網(wǎng)格進(jìn)行類比。之后找到網(wǎng)格環(huán)的運(yùn)算最基本規(guī)律，套用在無窮小小數(shù)上，只要這個(gè)小數(shù)的格符合這個(gè)運(yùn)算，那就是小數(shù)的環(huán)。即使是無理數(shù)，如果符合這個(gè)環(huán)，那也是環(huán)運(yùn)算。

　　所以坐標(biāo)要是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的那種方格為無限小的環(huán)，這種環(huán)不亂來，很嚴(yán)謹(jǐn)，可求積分，也就是可以求出體積。

　　勒貝格認(rèn)為：“不需要點(diǎn)陣了，點(diǎn)陣直接不想相交的豪斯多夫這種東西，也可以去求體積，可求積分?！?p>　　“不僅要消滅點(diǎn)陣，而且點(diǎn)陣有不合理的地方，點(diǎn)陣之間的空隙太大，不好。要變成方塊堆疊才可以，方塊堆疊形成體積，只需要求出方塊個(gè)數(shù)，和方塊的體積。方塊堆疊起碼沒有空隙。所以在數(shù)學(xué)上，除了點(diǎn)陣方塊可以求，還得保證空隙處，也叫補(bǔ)集，也得是可測的才行?！?p>　　如果點(diǎn)，不能說體積是大于0的，但是對于方塊體積肯定是大于0的。既然是可以測量，那體積肯定應(yīng)該大于0才行。

　　多個(gè)方塊的體積肯定大于少個(gè)方塊的體積，少個(gè)方塊是多個(gè)方塊的子集，那么子集的體積肯定比原集的體積小。

　　多個(gè)方塊合起來，那也是可測的，其中有交集和并集。

　　如果沒有方塊，那體積為0，就是0測度，這也不是不可測的。

　　移動(dòng)方塊的位置，那還是可測的。

　　若爾當(dāng)問：“你說的那個(gè)方塊是正方體的嗎？”

　　勒貝格笑了笑道：“就是長方體的有什么問題嗎？就是任意六面體的有什么問題嗎？”