第四百六十三章 謝爾賓斯基正規(guī)數(shù)（超越數(shù)）

　　瓦茨瓦夫·謝爾賓斯基給在哥廷根的塔杜施·巴納赫維奇寫信，喜歡討論很多關(guān)于集合論的問(wèn)題。

　　1916年，謝爾賓斯基說(shuō)：“我發(fā)現(xiàn)了正規(guī)數(shù)?！?p>　　巴納赫維奇說(shuō)：“什么是正規(guī)數(shù)？”

　　謝爾賓斯基說(shuō)：“這種數(shù)在任何基底下每個(gè)數(shù)字出現(xiàn)機(jī)會(huì)均等?！?p>　　巴納赫維奇說(shuō)：“是無(wú)理數(shù)這樣的數(shù)字嗎？”

　　謝爾賓斯基說(shuō)：“沒(méi)錯(cuò)，就是數(shù)字顯示出隨機(jī)分布，且每個(gè)數(shù)字出現(xiàn)機(jī)會(huì)均等的實(shí)數(shù)?！?p>　　巴納赫維奇明白了這個(gè)“數(shù)字”指的是小數(shù)點(diǎn)前有限個(gè)數(shù)字，以及小數(shù)點(diǎn)后無(wú)窮數(shù)字序列。

　　巴納赫維奇說(shuō)：“你如何去證明，這個(gè)是正規(guī)的？核心思想是什么？”

　　謝爾賓斯基說(shuō)：“x的數(shù)字中找到字串s的概率，就像在完全隨機(jī)生成的數(shù)字序列中的一樣。如果以任何b為底x都是正規(guī)，x稱為正規(guī)數(shù)?！?p>　　巴納赫維奇說(shuō)：“你的意思是隨機(jī)導(dǎo)致的這種正規(guī)嗎？但你如何去證明這個(gè)是隨機(jī)的？”

　　謝爾賓斯基說(shuō)：“波萊爾—坎特利引理還記得嗎？”

　　巴納赫維奇想起來(lái)，這個(gè)概念是由埃米爾·博雷爾在1909年創(chuàng)造。用波萊爾—坎特利引理，他證明了正規(guī)數(shù)定理：幾乎所有實(shí)數(shù)是正規(guī)的，意思是非正規(guī)數(shù)集合的勒貝格測(cè)度為0。

　　巴納赫維奇說(shuō)：“這就是把隨機(jī)性有用在勒貝格測(cè)度上了?！?p>　　謝爾賓斯基說(shuō)：“他這定理證明存在正規(guī)數(shù)，但首先給出一個(gè)例子的是我。非正規(guī)數(shù)集合是不可數(shù)的，這個(gè)結(jié)果容易得出，想法是從每個(gè)實(shí)數(shù)中完全除去一個(gè)數(shù)字。”

　　巴納赫維奇要求謝爾賓斯基打個(gè)比方，謝爾賓斯基直接從自己的口袋里掏出了自己隨身用的筆和一個(gè)小草稿本子。開(kāi)始站在那里寫起了數(shù)字。

　　巴納赫維奇很佩服謝爾賓斯基隨身攜帶紙幣的習(xí)慣，也欽佩他那種站著也能寫好字的能力。只要左手端著小本，右手直接寫字就行。

　　謝爾賓斯基在本上列出了一下幾個(gè)情況。

　　錢珀瑙恩數(shù)(Champernowne)：

　　0.1234567891011121314151617...

　　是從連結(jié)所有自然數(shù)的數(shù)字而得出的數(shù)，它以10為底正規(guī)，但在某些底不是正規(guī)。

　　科普蘭—艾狄胥常數(shù)(Copeland-Erd?s)：

　　0.235711131719232931374143...

　　從連結(jié)所有質(zhì)數(shù)的數(shù)字而得出的數(shù)，也是以10為底正規(guī)。

　　0.1010010001000010000010000001...

　　有理數(shù)在任何底都不是正規(guī)，因?yàn)樗鼈兊臄?shù)字序列最終會(huì)循環(huán)出現(xiàn)。瓦茨瓦夫·謝爾品斯基在1917年給出第一個(gè)明確構(gòu)造的一個(gè)正規(guī)數(shù)。韋羅妮卡·比徹(Verónica Becher)和桑蒂亞戈·菲蓋拉(Santiago Figueira)構(gòu)造一個(gè)可計(jì)算正規(guī)數(shù)；蔡廷常數(shù)(Chaitin)Ω給出一個(gè)不可計(jì)算的正規(guī)數(shù)例子。

　　要證明一個(gè)不是明確構(gòu)造為正規(guī)數(shù)的數(shù)的正規(guī)性非常困難。例如2的平方根、圓周率π（它的二進(jìn)制表達(dá)已被證明為正規(guī)數(shù)）、2的自然對(duì)數(shù)ln2和e是否正規(guī)仍不知道。（但基于實(shí)驗(yàn)證據(jù)，猜想它們很可能是正規(guī)數(shù)。）證明仍遙不可及：就連哪些數(shù)字在這些常數(shù)的10進(jìn)表示法無(wú)窮次出現(xiàn)仍不知道。大衛(wèi)·貝利(David H. Bailey)和理查德·克蘭德?tīng)?Richard E. Crandall)在2001年猜想每個(gè)無(wú)理代數(shù)數(shù)是正規(guī)的，雖沒(méi)有找到反例，卻還沒(méi)有一個(gè)這樣的數(shù)被證明在每個(gè)底都是正規(guī)的。