第四百六十四章 謝爾賓斯基三角形（分形）

　　一維是直線、二維是平面、三維是立體。

　　對(duì)于維數(shù)的定義，往往想到的是整數(shù)，很少有人能想到分?jǐn)?shù)的。

　　但是謝爾賓斯基就發(fā)現(xiàn)了非整數(shù)維度的東西。

　　維度還會(huì)有非整數(shù)的維度嗎？如果有，那維度是如何定義的？

　　謝爾賓斯基制作了一種特殊的圖形，就是謝爾賓斯基三角形這，是一種分形，它是自相似集的例子。制作方法是，取一個(gè)實(shí)心的等邊三角形。沿三邊中點(diǎn)的連線，將它分成四個(gè)小三角形。去掉中間的那一個(gè)小三角形。對(duì)其余三個(gè)小三角形重復(fù)前面的方式。

　　若設(shè)操作次數(shù)為n（每挖去一次中心三角形算一次操作），則剩余三角形面積公式為：4的n次方分之3的n次方。

　　它的豪斯多夫維是log(3)/log(2)≈ 1.585。

　　謝爾賓斯基墊片的極限圖形的面積趨于零，而小圖形的數(shù)目趨于無(wú)窮，作為小圖形的邊的線段數(shù)目趨于無(wú)窮，實(shí)際上是一個(gè)線集。

　　操作n次后邊長(zhǎng)r=(1/2)n，三角形個(gè)數(shù)N(r)=3 n，根據(jù)公式N(r)=1/rD，3n=2Dr，D=ln3/ln2=1.585。

　　所以謝爾賓斯基墊片是1.585。它比普通的一維直線占據(jù)了更多空間，但還是沒有二維正方形占據(jù)的那么多，可以用等比數(shù)列的知識(shí)求出他的面積是0。