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數(shù)學(xué)心

第四百七十七章 切比雪夫多項(xiàng)式(計(jì)算)

數(shù)學(xué)心 蔡澤禹 216 2021-03-10 13:10:00

  龍格對切比雪夫說:“我想利用多項(xiàng)式對某一個函數(shù)近似逼近,計(jì)算相應(yīng)函數(shù)值?!?p>  切比雪夫說:“表面上覺得貌似好像對,但是……”

  龍格說:“按理說多項(xiàng)式的次數(shù)越多,需要的數(shù)據(jù)就越多,而預(yù)測也就越準(zhǔn)確。可我發(fā)現(xiàn)插值次數(shù)越高,插值結(jié)果越偏離原函數(shù)。”

  龍格寫出了公式f(x)=1/(1+25x^2)。

  然后繼續(xù)說:“例如它的插值函數(shù)在兩個端點(diǎn)處發(fā)生劇烈的波動,造成較大的誤差。”

  切比雪夫說:“那就說明多項(xiàng)式是不完善的。只用冪多項(xiàng)式,恐怕不那么對?!?p>  龍格說:“為什么會這樣子?”

  切比雪夫說:“我們把這個多項(xiàng)式畫一畫,一次是直線,二次是拋物線,三次是有個峰有個谷兩邊都是反向無窮大的,四次是有兩個波峰然后有兩個負(fù)無窮大的,這樣一直往下走,我們沒有感覺到這樣的多項(xiàng)式會有一些準(zhǔn)確性。整體上不敢說是準(zhǔn)確的,局部的同樣也沒有保證?!?p>  龍格說:“那需要什么樣的不等式?!?p>  切比雪夫說:“可以寫另外一種多項(xiàng)式的類型,使用跟傅立葉相關(guān)的那種,三角函數(shù)多項(xiàng)式?!?p>  龍格說:“這聽起來都是靠譜了一些,但是如何得出來?”

  切比雪夫?qū)懗龅牡谝磺斜妊┓蚨囗?xiàng)式和第二切比雪夫多項(xiàng)式。

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