第四百九十九章 KAM定理（非線性力學(xué)）
柯爾莫哥洛夫?qū)Π⒅Z德說：“我開始想關(guān)于n體力學(xué)的問題，我們未來在研究動力學(xué)系統(tǒng)的時候，必須要面對這個嚴(yán)肅的問題?！?p> 阿諾德說：“n體問題屬于不可積分的難題，只能尋求級數(shù)解。換言之，這類系統(tǒng)無法根據(jù)初始條件求出描述系統(tǒng)未來確定性行為的精確解。力學(xué)系統(tǒng)一般說來不可積分，可積分系統(tǒng)只是極少的特例，并指出共振項可能影響級數(shù)的收斂性。”
柯爾莫科洛夫說：“我們要研究弱不可積系統(tǒng)問題?！?p> 阿諾德說：“哈哈，柿子撿軟的捏?！?p> 柯爾莫哥洛夫說：“在擾動較小也可以說非線性程度比較小、V足夠光滑、離開共振條件一定距離等三個條件下，對于絕大多數(shù)初始條件，弱不可積系統(tǒng)的運動圖像與可積系統(tǒng)基本相同?！?p> 阿諾德說：“在滿足一定條件下近可積系統(tǒng)絕大多數(shù)解是規(guī)則的，其相軌跡被限制在一個由n個運動不變量決定的n維環(huán)面上，該環(huán)面與可積系統(tǒng)的環(huán)面相比有微小的變形，但拓撲結(jié)構(gòu)不變，稱為不變環(huán)面；確切些說，相空間分成大小兩組體積非零的區(qū)域?！?p> 柯爾莫哥洛夫說：“在大區(qū)域中仍然保持著與可積系統(tǒng)類似的環(huán)面結(jié)構(gòu)；也有一些“隨機”解，但被限制在環(huán)面之間，成為“隨機”層。”隨機二字打上引號表示并非真正的隨機，而是因為系統(tǒng)的性態(tài)隨初值的敏感而呈現(xiàn)混亂，這仍然是混沌現(xiàn)象的決定性的表現(xiàn)
阿諾德說：“因此，近可積系統(tǒng)與可積系統(tǒng)的解相差不多，這時確定性與“隨機性”共存。”
柯爾莫哥洛夫說：“當(dāng)然，隨著攝動的加大，上述條件受到破壞，我說的這個不再適用。分隔相鄰“隨機”層的環(huán)面將逐個破裂，“隨機”層也相應(yīng)變大，這時系統(tǒng)的所有可能解中大部分都是混沌解。”
阿諾德說：“軌道的不穩(wěn)定性是力學(xué)系統(tǒng)運動中出現(xiàn)隨機性、不可預(yù)言性和混沌的原因?！?p> Kolmogorov 在1954年世界數(shù)學(xué)家大會上指出：非退化的可積系統(tǒng)在保守的微小擾動后，雖然某些不變環(huán)面一般說來會被擾動破壞掉（稱為共振環(huán)面），但仍會有相當(dāng)多的環(huán)面被保存下來，也就是說整個相空間中仍然有許多的相流的運動是非常簡單的（直觀地，可以想象二維平面雖然沒有被同心圓分層，但仍有許許多多的同心圓保存了下來，每個圓上的相流都共扼于一個旋轉(zhuǎn)，只是相鄰的兩個同心圓之間相流的運動會比較復(fù)雜一些）。
阿諾德后來與德國數(shù)學(xué)家Moser也開始通信討論這個問題。
Moser說：“不可積的哈密頓系統(tǒng)又是什么樣子？”
阿諾德說：“直到現(xiàn)在也不完全清楚，也許永遠也搞不清。但是由已知的東西出發(fā)探索未知的方法提醒我們應(yīng)該先去了解充分接近可積的系統(tǒng)是什么樣子?！?p> Moser說：“我們現(xiàn)在準(zhǔn)備試圖證明這個定理。”
阿諾德說：“有什么好的辦法碼？”
Moser說：“用牛頓迭代的辦法了。就是找一系列的典則變換，不破壞哈密頓方程的式，一步步地變換近可積的系統(tǒng)使之越來越靠近一個可積系統(tǒng)，只要對參數(shù)的大部分點能做到就行。由于在迭代過程中會出現(xiàn)所謂的“小分母”，用通常的牛頓迭代法無法保證最終無窮多步變換的復(fù)合收斂，但利用改進的牛頓迭代方法克服了小分母帶來的麻煩，從而完成了定理的證明?！?p> 阿諾德說：“這個辦法不錯?！?p> Moser說：“Sigel也對這個工作感興趣，他在考慮圓周映射的線性化時，也曾提出過類似的證明思想，我在降低該理論對可微性的要求上又作出了一些重要的工作?！焙髞?，John Nash 在他證明有關(guān)黎曼嵌入的論文中，也用到了類似的迭代方法（當(dāng)然是獨立完成，甚至可能早于Moser），于是，后人又把他們的證明方法叫做 Nash-Moser 迭代。
阿諾德說：“曾經(jīng)的遍歷性假設(shè)是猜測：通有的哈密頓系統(tǒng)，相流是遍歷的。如果按照我的理論，遍歷性假設(shè)不攻自破？由于可積系統(tǒng)不是通有的系統(tǒng)，一般的系統(tǒng)都是不可積的，因此由相流不遍歷的可積系統(tǒng)并不能否定遍歷性假設(shè)，但是我們知道近可積系統(tǒng)卻是通有的。如果我們考慮 4 維的相空間，其等能面是三維的，如果該近可積的系統(tǒng)有不變二維環(huán)面存在，則此環(huán)面必將能量面的其余部分分割為不連通的兩塊，相流不可能從環(huán)面一邊跑道另一邊，所以也就不會有何遍歷性可言?！?p> Moser笑說：“不知道當(dāng)年 Fermi 是怎么證明了遍歷性假設(shè)的。不過據(jù)說他開密碼鎖也是一把好手。”Fermi當(dāng)年的工作恰恰發(fā)現(xiàn)了不遍歷性。說的是他搞了一批耦合諧振子，原來覺得能量可以自由的在自由度之間流動，最終達到玻爾茲曼分布。結(jié)果后來發(fā)現(xiàn)根據(jù)初始條件不同，能量卡在若干個自由度之間來回變，永遠不會達到玻爾茲曼分布。驗證了動力系統(tǒng)中，遍歷性假設(shè)不是先天靠譜的。
阿諾德說：“我在想，共振環(huán)面破裂后到底會怎樣？”
Moser說：“這個問題仍沒有完全解決。目前大家都比較清楚的是：一般會有較低維數(shù)的環(huán)面存在，分橢圓環(huán)面，雙曲環(huán)面等，，也就是說仍然還有比較規(guī)則的相曲線；同時還會有一些很不規(guī)則的軌線，有人稱之為 Mather 集；甚至還有所謂的“馬蹄”?！?p> KAM 理論，不僅是 Kolmogorov 定理本身，還包括為證明該定理所發(fā)展的一系列方法，該理論誕生至今雖已近半個世紀(jì)，但仍在不斷的發(fā)展和完善中。它所應(yīng)用的范圍也不僅限于哈密頓系統(tǒng)，對于可逆系統(tǒng)，保體積映射，以及無窮維哈密頓系統(tǒng)（包括一些特殊的偏微分方程）都發(fā)展出了相應(yīng)的 KAM 理論。甚至可以說，凡是有小分母出現(xiàn)的地方，就是 KAM 大顯身手之處。