第五百零四章 柯爾莫哥洛夫-阿諾德表示定理（拓?fù)鋵W(xué)）

　　阿諾德的研究領(lǐng)域遍及可積系統(tǒng)、代數(shù)、代數(shù)幾何、微分方程、拓?fù)?、?zāi)變理論、奇性理論、辛幾何、經(jīng)典力學(xué)和流體力學(xué)，等等。

　　辛拓?fù)?sympletic topology)明確是阿諾德開創(chuàng)的領(lǐng)域，它來自辛幾何(sympletic geometry)，再往前追溯應(yīng)該是來自哈密頓正則方程。

　　就研究風(fēng)格來說，阿諾德確實和哈密頓是一路的。

　　一般大學(xué)課程意義上的經(jīng)典力學(xué)，能順著牛頓力學(xué)-拉格朗日力學(xué)-哈密頓力學(xué)把個概念脈絡(luò)說清楚，那就燒高香了。

　　阿諾德的深度，自然不會滿足于泛泛的概念介紹。

　　都知道拉格朗日力學(xué)始于約束體系的研究，談約束怎可不討論約束條件相應(yīng)的幾何問題，你看阿諾德的書就會給你講流形上的拉格朗日力學(xué)。

　　等到進(jìn)入哈密頓力學(xué)，微分形式、外微分自然是必用的語言(其實，這也是熱力學(xué)必用的語言！)。

　　既然都來到了哈密頓力學(xué)領(lǐng)域，盯著哈密頓正則方程焉能沒有研究的沖動，于是人家阿諾德順著辛幾何一路下去發(fā)展出了辛拓?fù)溥@一嶄新數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域。

　　數(shù)學(xué)是實驗不花錢的那部分物理

　　Jacobi注意到，一個數(shù)可表示為四個平方數(shù)之和與單擺的運動是由同一個函數(shù)所支配的。

　　20世紀(jì)把數(shù)學(xué)和物理分成兩個學(xué)科，這是災(zāi)難性的。

　　一代數(shù)學(xué)家在不知道科學(xué)那一半的情況下成長起來，然后把丑陋的經(jīng)院贗數(shù)學(xué)教給學(xué)生們。

　　從來沒有也永遠(yuǎn)不會有什么應(yīng)用科學(xué)，只有科學(xué)的應(yīng)用！

　　真正的數(shù)學(xué)家不需要拉幫結(jié)伙，腦子不夠使的才拉幫結(jié)伙以便混吃等死。他們能以任何理由結(jié)伙，但是本質(zhì)上就是解決一個社會學(xué)問題—在有點兒文化的環(huán)境中賴活著。

　　阿諾德對柯爾莫哥洛夫說：“我研究了哈密頓的辛幾何。他所刻畫的隨時間變化的物理過程可以等價為相空間的幾何變換?！?p>　　柯爾莫哥洛夫說：“相空間也是一種坐標(biāo)系。常規(guī)坐標(biāo)系有x，y，z坐標(biāo)軸，而相空間在常規(guī)坐標(biāo)軸基礎(chǔ)再增加坐標(biāo)軸或動量軸。質(zhì)點在初始時刻的位置和速度就對應(yīng)相空間中一個廣義的“點”。我們用這個廣義點來表示物理的一些狀態(tài)。”

　　阿諾德說：“所有感興趣的點在相空間里組成一個高維塊體。隨著時間變化，這個塊體會像面團一樣變化，所以就把這個塊體叫流形?！边@里常規(guī)是三維塊體，二維區(qū)域。

　　柯爾莫哥洛夫說：“上述流形肯定是千奇百怪的，其中符合外爾心目的symplectic 的，就叫做symplectic manifold，中文就翻譯為辛流形。辛流形像面團一樣被揉來揉去就叫辛拓?fù)?，?biāo)準(zhǔn)叫法是symplectic topology，而symplectic group就叫辛群了?！?p>　　阿諾德說：“之所以symplectic在經(jīng)典力學(xué)和理論物理研究中時髦起來，是因為對保守系統(tǒng)，也就是沒有耗散的系統(tǒng)，辛流形的廣義體積不隨時間變化?！?p>　　柯爾莫哥洛夫說：“很多時候，被研究系統(tǒng)的微分方程太復(fù)雜，以至于尋找封閉的精確解已不可能的。”

　　阿諾德說：“需要借助于計算機求數(shù)值解。求數(shù)值解需要把微分方程近似為代數(shù)方程的迭代。近似方法有多種，如形形色色的差分法，各種格式的龍格庫塔法等等?！?p>　　柯爾莫哥洛夫說：“近似方法在每一個迭代步內(nèi)有誤差，所造成的誤差還可能會在下一步迭代中被放大?；蛘邠Q個名詞，這相當(dāng)于計算帶來了虛假的計算阻尼。如果這種阻尼是“正”的還好，誤差不會累積暴增。如果一不小心，迭代格式所造成的阻尼是“負(fù)”的，那么近似計算出來的系統(tǒng)能量會越來越大，計算結(jié)果就會發(fā)散，這時根本談不上精度了。”

　　阿諾德說：“如果在構(gòu)造近似格式時，首先約束格式要保證辛流形的體積不隨迭代而變化，那么計算出來的“系統(tǒng)能量”就不會無限增大。不管精度如何，這至少數(shù)值結(jié)果不會發(fā)散了！因為保守系統(tǒng)運用的廣泛性和計算機分析的流行性，所以對能保正辛流形體積不變的迭代格式就特別受到計算科學(xué)家的重視?！?p>　　阿諾德說：“目前對微觀世界的理論物理和日月星辰的天文學(xué)，幾乎都不強調(diào)能量損耗或認(rèn)為就根本不存在，而且其運行的時間尺度很大，所以若不用保辛格式，則很難得到長時間的行為?！?p>　　柯爾莫哥洛夫說：“但是就很多工程問題，對耗散和摩擦都不能掩耳盜鈴，所以辛算法是否還那么霸氣呢？”

　　阿諾德說：“辛算法主要針對的是保守系統(tǒng)，比如天體力學(xué)，電磁場中的粒子，薛定諤方程等等。工程上用的要少些，實際上工程中還常常要加入人為耗散來抹掉噪聲誤差。