第五百一十一章 馬爾科夫轉(zhuǎn)移矩陣法（概率與統(tǒng)計(jì)）

　　自從發(fā)現(xiàn)馬爾科夫鏈之后，馬爾可夫便開(kāi)始進(jìn)行深度挖掘。

　　一個(gè)系統(tǒng)的某些因素在轉(zhuǎn)移中，第n次結(jié)果只受第n-1的結(jié)果影響，只與當(dāng)前所處狀態(tài)有關(guān)，與其他無(wú)關(guān)。在馬爾科夫分析中，引入狀態(tài)轉(zhuǎn)移這個(gè)概念。所謂狀態(tài)是指客觀事物可能出現(xiàn)或存在的狀態(tài)；狀態(tài)轉(zhuǎn)移是指客觀事物由一種狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另一種狀態(tài)的概率。

　　馬爾可夫認(rèn)為自己可以對(duì)一個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測(cè)，自己可以當(dāng)一個(gè)完美的算命先生。

　　就是使用馬爾可夫轉(zhuǎn)移矩陣法。

　　假定某大學(xué)有1萬(wàn)學(xué)生，每人每月用1支牙膏，并且只使用“中華”牙膏與“黑妹”牙膏兩者之一。根據(jù)本月（12月）調(diào)查，有3000人使用A牙膏，7000人使用B牙膏。又據(jù)調(diào)查，使用A牙膏的3000人中，有60％的人下月將繼續(xù)使用A牙膏，40％的人將改用B牙膏；使用B牙膏的7000人中，有70％的人下月將繼續(xù)使用B牙膏，30％的人將改用A牙膏。

　　現(xiàn)用\擬用 A牙膏 B牙膏

　　A牙膏 60％ 40％

　　B牙膏 30％ 70％

　　根據(jù)這個(gè)表，馬爾可夫用矩陣表示。

　　B=[ 60% 40%]

　　[ 30% 70%]

　　稱(chēng)為轉(zhuǎn)移概率矩陣?？梢钥闯觯D(zhuǎn)移概率矩陣的一個(gè)特點(diǎn)是其各行元素之和為１。在本例中，其經(jīng)濟(jì)意義是：現(xiàn)在使用某種牙膏的人中，將來(lái)使用各種品牌牙膏的人數(shù)百分比之和為1。

　　有了轉(zhuǎn)移矩陣，可以預(yù)測(cè)下一個(gè)月（1月）的使用各種牙膏的人數(shù)。

　?。?000 ，7000）[ 60% 40%]=（3900，6100）

　　[ 30% 70%]

　　如果轉(zhuǎn)移概率矩陣不變，繼續(xù)可以預(yù)測(cè)2月份情況

　　（3900，6100）[ 60% 40%]=（4170，5830）

　　[ 30% 70%]

　　二月份使用牙膏數(shù)也知道了。

　　而且從中可以看出其中2個(gè)月的變化，就是這個(gè)矩陣的二次方。

　　辛欽對(duì)馬爾可夫說(shuō)：“你發(fā)現(xiàn)的第n次結(jié)果只受第n-1的結(jié)果影響，只與當(dāng)前所處狀態(tài)有關(guān)，與其他無(wú)關(guān)。這個(gè)會(huì)有很大作用嗎？感覺(jué)n-1以前的全部作廢了？”

　　馬爾可夫說(shuō)：“你的腦子還是沒(méi)轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)吧。n-1與n-2有關(guān)聯(lián)，n-2與n-3有關(guān)聯(lián)??！”

　　辛欽說(shuō)：“我們不是要研究n的狀態(tài)嗎？前面的我們還要管他干嘛？”

　　馬爾可夫說(shuō)：“很多系統(tǒng)，在時(shí)間演變過(guò)程中，我們只是取到其中幾個(gè)時(shí)間點(diǎn)的一些碎片。我們要把整個(gè)系統(tǒng)的演化過(guò)程推演出來(lái)，之后分成很多段時(shí)間點(diǎn)，把從上到下的每個(gè)轉(zhuǎn)移矩陣推敲出來(lái)，然后對(duì)系統(tǒng)前后的變化進(jìn)行推敲?！?p>　　辛欽搖搖頭說(shuō)：“概率轉(zhuǎn)移矩陣又不是恒定的？你這樣做的意義？”

　　馬爾可夫說(shuō)：“不一樣，所以可以把每個(gè)狀態(tài)的概率矩陣都寫(xiě)出來(lái)，然后觀察其中的變化?！?p>　　辛欽說(shuō)：“試圖尋找穩(wěn)定的，或者即使是不穩(wěn)定的，也是可預(yù)測(cè)的那種？”

　　辛欽說(shuō)：“是的。”

　　后來(lái)結(jié)合蒙特卡洛，馬爾科夫又發(fā)現(xiàn)了馬爾可夫鏈蒙特卡洛方法(Markov Chain Monte Carlo)，簡(jiǎn)稱(chēng)MCMC，產(chǎn)生于19世紀(jì)50年代早期，是在貝葉斯理論框架下，通過(guò)計(jì)算機(jī)進(jìn)行模擬的蒙特卡洛方法(Monte Carlo)。該方法將馬爾科夫(Markov)過(guò)程引入到Monte Carlo模擬中，實(shí)現(xiàn)抽樣分布隨模擬的進(jìn)行而改變的動(dòng)態(tài)模擬，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)的蒙特卡羅積分只能靜態(tài)模擬的缺陷。MCMC是一種簡(jiǎn)單有效的計(jì)算方法，在很多領(lǐng)域到廣泛的應(yīng)用，如統(tǒng)計(jì)物、貝葉斯(Bayes)問(wèn)題、計(jì)算機(jī)問(wèn)題等。