第五百一十章 馬爾科夫鏈（概率與統(tǒng)計(jì)）

　　辛欽對馬爾科夫說：“你發(fā)現(xiàn)了一種重要的概率模型嗎？”

　　馬爾科夫說：“沒錯，名字叫馬爾科夫鏈?！?p>　　辛欽說：“描述一下，我聽聽合不合理，重不重要?！?p>　　馬爾科夫說：“當(dāng)一個隨機(jī)過程在給定現(xiàn)在狀態(tài)及所有過去狀態(tài)情況下，其未來狀態(tài)的條件概率分布僅依賴于當(dāng)前狀態(tài)。”

　　辛欽說：“與之前很久時間的狀態(tài)無關(guān)，是這個意思嗎？”

　　馬爾科夫點(diǎn)點(diǎn)頭。

　　辛欽說：“有個好的例子嗎？”

　　馬爾科夫說：“一只被切除了大腦的白鼠在若干個洞穴間的躥動就構(gòu)成一個這樣的鏈。因?yàn)檫@只白鼠已沒有了記憶，瞬間而生的念頭決定了它從一個洞穴躥到另一個洞穴；當(dāng)其所在位置確定時，它下一步躥往何處與它以往經(jīng)過的路徑無關(guān)?！?p>　　辛欽認(rèn)為這一模型的哲學(xué)意義是十分明顯的，他說：“就是承認(rèn)客觀世界中有這樣一種現(xiàn)象，其未來由現(xiàn)在決定的程度，使得我們關(guān)于過去的知識絲毫不影響這種決定性。這種在已知“現(xiàn)在”的條件下，“未來”與“過去”彼此獨(dú)立的特性就被稱為馬爾科夫性，具有這種性質(zhì)的隨機(jī)過程就叫做馬爾科夫過程，其最原始的模型就是馬爾科夫鏈?！?p>　　馬爾科夫說：“這就是一種無記憶性?！?p>　　辛欽說：“你從哪里來的這個想法？”

　　馬爾科夫說：“這即是對惠更斯提出的無后效原理的概率推廣，也是對法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯機(jī)械決定論的否定?！?p>　　辛欽說：“有些意思，上升到某些哲學(xué)意味了。你這樣做就是開始考慮相依隨機(jī)變量序列的規(guī)律?！?p>　　馬爾科夫說：“從中選出了最重要的一類加以研究。這種如同鎖鏈般環(huán)環(huán)相扣的隨機(jī)變量序列，其中某個變量各以多大的概率取什么值，完全由它前面的一個變量來決定，而與它更前面的那些變量無關(guān)?！?p>　　辛欽認(rèn)為，馬爾科夫所建立的概率模型不但具有深刻的哲學(xué)意義，而且具有真實(shí)的物質(zhì)背景，在他的工作之前或同時，一些馬爾科夫鏈或更復(fù)雜的隨機(jī)過程的例子已出現(xiàn)在某些人的研究中，只不過這些人沒有自覺地認(rèn)識到這類模型的普遍意義或用精確的數(shù)學(xué)語言表述出來罷了。

　　辛欽說：“除了有深刻的哲學(xué)意味，還有很多物理方面的不錯的解釋。比如布朗運(yùn)動，家族遺傳規(guī)律，容器中分子擴(kuò)散使用，傳染病感染人數(shù)，謠言是散播，原子核中電子躍遷，人口的增長等。”

　　馬爾科夫笑說：“有趣的是，我倒是沒有太多的注意有關(guān)物理的模型。而是統(tǒng)計(jì)了長詩《葉甫蓋尼·奧涅金》中元音字母和輔音字母交替變化的規(guī)律：這是長詩開頭的兩句，意為：“我不想取悅驕狂的人生，只希望博得朋友的欣賞。”詩人那火一般的詩篇在數(shù)學(xué)家那里變成了一條冷冰冰的鎖鏈：在這條鎖鏈上只有兩種鏈環(huán)，C代表輔音、代表元音，此處為了使問題簡化起見，不仿把兩個無音字母算作輔音。馬爾科夫分別統(tǒng)計(jì)了在C后面出現(xiàn)C和的概率p和1-p，以及在后出現(xiàn)C和的概率q和1-q，把結(jié)果與按照俄語拼音規(guī)則計(jì)算出的結(jié)果進(jìn)行比較，證實(shí)了語言文字中隨機(jī)的從概率的意義上講，字母序列符合他所建立的概率模型?！?p>　　辛欽說：“原來是利用了語言文學(xué)方面的材料來說明性質(zhì)?！?p>　　后來，馬爾科夫完成了關(guān)于鏈的大數(shù)定律的證明之后，馬爾科夫又開始在一系列論文中研究鏈的中心極限定理。

　　1907年他在《一種不平常的相依試驗(yàn)》中證明了齊次馬爾科夫鏈的漸近正態(tài)性；

　　1908年在《一個鏈中變量和的概率計(jì)算的極限定理推廣》中作了進(jìn)一步的推廣；

　　1910年他發(fā)表了重要的論文《成連鎖的試驗(yàn)》，在其中證明了兩種情況的非齊次馬爾科夫鏈的中心極限定理。與此同時他在一些假定的前提下證明了模型的各態(tài)歷經(jīng)性，成為在統(tǒng)計(jì)物理中具有重要作用的遍歷理論中第一個被嚴(yán)格證明的結(jié)果。遍歷理論亦稱ergodic理論，是奧地利物理學(xué)家玻耳茲曼（L. Boltzmann， 1844－1906）于1781年提出來的，其大意是：一個系統(tǒng)必將經(jīng)過或已經(jīng)經(jīng)過其總能量與當(dāng)時狀態(tài)相同的另外的任何狀態(tài)。